Blog Matematika Pak Satria

Penjumlahan sin kuadrat

Posted on January 22, 2022 by Nursatria

Yeaah..ini tulisan pertama di 2022. Semoga aja di tahun ini saya lebih aktif ngeblog, amiin 😊

Kali ini kita bahas trigonometri. Perhatikan deret trigonometri berikut:

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\cdots+\sin^2(88^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})=\cdots$

Untuk menjawabnya, kita mengunakan 2 identitas trigonometri.

(i) $\sin \alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)$

(ii) $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Selajutnya deret tersebut kita susun ulang. Suku pertama dijumlahkan dengan suku terakhir, suku kedua dengan suku kedua dari terakhir begitu seterusnya

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(89^{\circ})$

$\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})$

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(87^{\circ})$

$\vdots$

$\sin^2(44^{\circ})+\sin^2(46^{\circ})$

$\sin^2(45^{\circ})$

Kita mendapatkan $\sin^2(45^{\circ})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}=0,5$ sebagai titik tengah. Nilai ini kita simpan dulu.

Selanjutnya dengan menggunakan (i) lalu (ii), diperoleh

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(89^{\circ})\rightarrow \sin^2(1^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-89^{\circ})\rightarrow \sin^2(1^{\circ})+\cos^2(1^{\circ})=1$

$\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})\rightarrow \sin^2(2^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-88^{\circ})\rightarrow \sin^2(2^{\circ})+\cos^2(2^{\circ})=1$

$\vdots$

$\sin^2(44^{\circ})+\sin^2(46^{\circ})\rightarrow \sin^2(44^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-46^{\circ})\rightarrow \sin^2(44^{\circ})+\cos^2(44^{\circ})=1$

Kita mendapatkan 1 sebanyak 44. So..disimpulkan

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\cdots+\sin^2(88^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})=44\cdot 1+0,5=44,5$

Mm..menurut saya, soal diatas punya langkah-langkah penyelesaian yang cukup cantik.

Posted in soal | Tagged deret, soal, trigonometri | Leave a comment

Mana yang lebih besar?

Posted on July 31, 2021 by Nursatria

Mana yang lebih besar $2020^{2021}$ atau $2021^{2020}$ ?

Kita tidak bisa menjawab soal di atas dengan kalkulator karena layarnya tidak akan muat bahkan google sekalipun menganggap $2020^{2021}$ itu tak hingga.

Untuk menjawab soal diatas, kita harus melakukan sedikit observasi

$1+\frac{1}{1}=1$
$(1+\frac{1}{2})^2=2,25$
$(1+\frac{1}{3})^3=2,370$
$(1+\frac{1}{4})^4=2,441$
$(1+\frac{1}{5})^5=2,488$

Terlihat nilainya semakin lama semakin membesar, jika iterasi itu terus kita lakukan, kita akan mendapatkan nilai limit

$\lim_{n \to \infty }(\,1+\frac{1}{n})\,^n\approx 2,71828=e$

Bilang $e$ sering disebut sebagai bilangan Euler. Nah kita menggunakan bilangan ini, untuk menjawab soal di atas.

Berdasarkan fakta diatas, diperoleh

$(\,1+\frac{1}{2020})\,^{2020}<e$

$(\,\frac{2021}{2020})\,^{2020}<e$

$\frac{2021^{2020}}{2020^{2020}}<e$

$2021^{2020}<2020^{2020}\cdot e$ (i)

Karena $e<2020$ maka

$2020^{2020}\cdot e<2020\cdot2020^{2020}$

$2020^{2020}\cdot e<2020^{2021}$ (ii)

Dari (i) dan (ii), serta sifat transitif pada ketidaksamaan, disimpulkan

$2021^{2020}<2020^{2021}$

Jadi $2020^{2021}$ lebih besar daripada $2021^{2020}$

Bentuk Umum

Dengan cara yang sama dengan yang diatas, dapat kita simpulkan

Jika $e<n$ maka berlaku

$(n+1)^n<n^{n+1}$

Posted in soal | Tagged besar, e, ketidaksamaan | 43 Comments

Pembuktian Pythagoras ala Einstein

Posted on July 22, 2021 by Nursatria

Mungkin ini tulisan saya yang ke-5 mengenai pembuktian rumus Pythagoras. Saya pernah membahas pembuktian Pythagoras ala Da vinci, sekarang yang akan saya bahas ala Einstein. Yup..Einstein yang saya maksud adalah Albert Einstein.

Dari semua pembuktian Pythagoras yang saya ketahui, boleh dibilang pembuktian ala Einstein ini yang paling sederhana dan intuitif. Einstein hanya menggunakan konsep kesebangunan untuk membuktikannya

Kesebangunan

Dua bangun datar A dan B dikatakan sebangun, dengan notasi $A \sim B$ jika yang satu merupakan miniatur yang lain dengan faktor skala k. Jika A luasnya n satuan persegi maka luas B adalah k²n satuan persegi.

Sebagai contoh diberikan persegi dengan panjang 3 cm dan lebar 2 cm, tentu saja luasnya 6 cm². Jika persegi tersebut kita persbesar 3 kali lipat maka panjangnya menjadi 9 cm, lebarnya 6 cm dan luasnya 54=3²×6 cm²

Secara matematika, ada 2 syarat dua bagun datar dikatakan sebagun jika

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama

Pembuktian ala Einstein

Sekarang kita masuk ke pembuktiannya. Diberikan segitiga siku-siku, pertama-tama kita tarik garis tegak lurus dari sisi miring ke sudut siku-siku

Continue reading →

Posted in geometri, pembuktian | Tagged Einstein, pembuktian, pythagoras | 27 Comments

Untuk semua & terdapat

Posted on July 16, 2021 by Nursatria

Bagi yang mempelajari logika tentunya tahu ada 2 kuantifikasi/kuantor yang digunakan. Pertama adalah kuantor universal, simbolnya $\forall$ yang artinya semua, setiap, seluruh, sebarang. Yang keduaadalah kuantor eksistensial, simbolnya $\exists$ yang artinya terdapat, ada, sebagian, tidak semua.

Suatu pernyataan yang memuat 2 kuantor, jika urutannya kita tuka maka maknanya bisa saja beubah

Perhatikan 2 pernyataan berikut:

$(\, \forall x,\exists y \in \mathbb{N})\,x=y$ . Untuk semua semua bilangan asli x terdapat bilangan asli y sedemikian hingga x=y.
$(\,\exists y \forall x\in \mathbb{N})\,x=y$ . Terdapat bilangan asli y sehingga untuk semua bilangan asli y berlaku x=y.

Yang pertama bernilai benar sedangkan yang kedua salah.

Penjelasan.

Yang pertama jelas untuk semua bilangan asli x berlaku x=x. Nilai y mengikuti x, kita tidak bisa mengambil sembarang y. Itu sebabnya kuantor untuk y adalah kuantor eksistensial

Yang kedua artinya kita mencari y sedemikian hingga apapun bilangan asli x yang diambil berlaku x=y. Apakah ada y yang memenuhi $y=1=2=3=\cdots$ ? Jelas tidak.

Posted in Logika | Tagged logika | 21 Comments

Judi dan lahirnya teori peluang

Posted on July 14, 2021 by Nursatria

Menurut sejarah, Teori peluang sebagai cabang dari Matematika berasal dari judi. Yup judi, teori peluang lahir karena kebutuhan pejudi menganalisis taruhannya. Pejudi yang bisa dikatakan menginisasi lahirnya teori peluang adalah Antoine Gombaud (1607 – 29 December 1684) tapi dia biasa dipanggil dengan nama Chevalier de Méré yang artinya Ksatria dari Méré

Pada abad 17, di Prancis sedang trend permainan lempar dadu. Ketika itu pejudi mengunakan insting dan pengalaman untuk menentukan taruhan tapi tidak dengan om Gombaud, dia berpikir melakukan analisa sebelum berjudi.

Salah satu permainan dadu yang populer ketika itu adalah Mana yang lebih mungkin untuk mucul

Mendapatkan paling sedikit satu mata 6 dari pelemparan sebuah dadu sebanyak 4 kali
mendapatkan paling sedikit satu mata 6 ganda pelemparan sepasang dadu sebanyak 24 kali.

Mas Goumbaud berpendapat dua kejadian tersebut nilai peluangnya sama saja

Dia berargumentasi

Peluan munculnya mata 6 dari pelemparan sebuah dadu adalah $\frac{1}{6}$ .Jika dilempar 4 kali maka peluangnya adalah $4\times \frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Peluang munculnya mata 6 ganda dari pelemparan sepasang dadu adalah $\frac{1}{36}$ .Jika dilempar 24 kali maka peluangnya adalah $24\times \frac{1}{36}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$

Peluangnya sama saja akan tetapi ketika dia bertaruh untuk sepasang dadu yg dilempar 24 kali, dia kalah melulu.

Hal tersebut membuat dia penasaran apa yang salah dengan cara berpikirnya sehingga dia bertanya kepada Matematikawan hebat di jaman itu Blaise Pascal.

Continue reading →

Posted in probabilitas | Tagged judi, peluang | 8 Comments

Kemustahilan dan kemungkinan nol

Posted on July 10, 2021 by Nursatria

Dalam teori peluang

Suatu kejadian yang mustahil sudah pasti kemungkinannya nol tapi sebaliknya tidak berlaku, kejadian yang kemungkinannya nol belum tentu mustahil

Nah..sekarang akan saya berikan contoh kejadian yang kemungkinannya nol tapi tidak mustahil

Memilih secara acak suatu bilangan dari seluruh bilangan asli. Bukanlah hal yang mustahil kamu memilih 7 tapi kemungkinannya adalah $P(7)=\frac{1}{\infty}=0$
Kemungkinan suatu titik di papan panah terkena anak panah adalah nol. Ada tak hingga banyaknya titik di papan panah membuat kemungkinan suatu titik terkena panah adalah $\frac{1}{\infty}=0$ namun anak panah akan mengenai suatu titik di papan membuat kejadian tersebut mungkin meskipun kemungkinannya nol

Lalu sekarang pertanyaannya

Apa itu kemustahilan?

Kemustahilan adalah mengharapkan sesuatu yang tidak ada. Bahasa matematikanya $P(\emptyset)=0$ .

Munculny mata dadu 7 dari pelemparan dadu biasa yang matanya cuman sampai 6.
Juventus menang pada pertandingan MU vs Real Madrid.

So..jika kamu army yang berharap berjodoh dengan satu personel bts itu bukanlah kemustahilan meskipun kemungkinannya bisa dikatakan nol.

Posted in probabilitas | Tagged kejadian, kemungkinan, mustahil, nol, panahan | 10 Comments

Akar kuadrat yang cantik

Posted on July 6, 2021 by Nursatria

Awal melihat persamaan tersebut, saya langsung berucap “ngaco ini”. Eh tapi ternyata bener.

$\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$

Ternyata ada bentuk yang lainnya

$\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$
$\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$

Nah…sekarang mari kita cari rumus umumnya

$\sqrt{a+\frac{b}{c}}=a\sqrt{\frac{b}{c}}$

Dengan b dan c adalah relatif prima Selanjutnya kita kuadratkan kedua sisinya.

$a+\frac{b}{c}=a^2\frac{b}{c}$

$a=a^2\frac{b}{c}-\frac{b}{c}$

$a=(a^2-1)\frac{b}{c}$

$\frac{a}{a^2-1}=\frac{b}{c}$

Karena b dan c adalah relatif prima maka

$a=b$ dan $a^2-1=c$

So…disimpulkan rumus umumya adalah

$\sqrt{a+\frac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$

Dengan a>1 (mengapa?)

Sekarang kita dengan mudah mengetahui

$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$
$\sqrt{10\frac{10}{99}}=10\sqrt{\frac{10}{99}}$

Posted in kalkulus | Tagged akar, kuadrat | 2 Comments

Segitiga Kobon

Posted on July 4, 2021 by Nursatria

Ada orang Jepang yang bernama Kobon Fujimura yang menemukan sesuatu yang menarik.

Dengan 3 garis bisa dibentuk 1 segitiga
Dengan 4 garis bisa dibentuk 4 segitiga
Dengan 5 garis bisa dibentuk 5 segitiga

Tentu saja yang yang jadi pertanyaannya adalah, ada gak sich rumus umumnya

Jika diberikan k garis ada berapa jumlah maksimal segitiga yang tidak tumpang tindih yang dapat kita bentuk?

Sampai sekarang pertanyaan tersebut belum terjawab.

Posted in geometri, teka-teki | Tagged segitiga | 4 Comments

Membuat Bilangan Asli

Posted on July 2, 2021 by Nursatria

Konon katanya jenis bilangan yang pertama kali dipahami oleh manusia adalah bilangan asli atau orang Jawa bilang Natural Number. Dengan bilangan asli nenek moyang kita mampu membilang, menghitung jumlah hewan buruan atau ternak.

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}$

Waktu SD, kita diajarkan bahwa bilangan asli dimulai dari 0,1,2,3 dst tanpa pernah dijelaskan dst itu syarat atau aturannya apa?

Mengapa $10^{1000}$ adalah bilangan asli?
Mengapa 101,01 dan $\frac{2}{5}$ bukan bilangan asli?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita bisa saja mendefinisikan bilangan asli sebagai berikut

$\mathbb{N}=\{x|x=1+1+1+\cdots+1 \}$

Jadi bilangan asli adalah hasil penjumlahan 1 ke dirinya sendiri sebanyak n kali. Permasalahan dari definisi tersebut apa yang dimaksud dengan n? Kalo kita mengatakan n adalah bilangan asli maka itu adalah circular reasoning , mbulet, muter-muter disitu. Ibarat mau bikin nasi goreng dengan bahan yang dibutuhkan juga nasi goreng.

Berarti definisi diatas gak bisa dipakai, bagaimana kalo sekarang definisinya menjadi.

$\mathbb{N}$ ={x|x=0 atau ada $y \in \mathbb{N}$ sedemikian hingga x=y+1}

Definisi yang sederhana, kita membangun bilangan asli hanya dengan nol, satu dan operasi penjumlahan. Nah..sayangnya definisi ini gagal menjawab apakah 101,01 bilangan asli atau bukan? Kita tahu bahwa 101,01=100,01+1, lalu bagaimana memverifikasi 100,01 bukan bilangan asli menggunakan definisi di atas.

Selain itu bilangan real juga memenuhi definisi di atas, ambil sembarang $r \in \mathbb{R}$ maka kita selalu bisa menuliskan r=(r-1)+1 untuk suatu $(r -1)\in \mathbb{R}$ . Padahal bilangan real belum tentu bilangan asli.

Kita gagal membangun bilangan asli dari 0 dan 1 lalu dengan apa kita membangun bilangan asli?

Dengan himpunan kosong $\emptyset$

Continue reading →

Posted in Teori Bilangan | Tagged asli, bilangan, kontruksi | 1 Comment

Dua ibu dan dua putri

Posted on March 15, 2021 by Nursatria

Di suatu ruangan terdapat dua ibu yang masing-masing ditemani oleh seorang putri (Putri kandung ya)

Jadi ada 2 ibu dan 2 putri tetapi di ruangan tersebut cuman ada 3 orang.

Bagaimana bisa?

Yang tahu jawabannya, tulis di kolom komentar ya 😊

Posted in teka-teki | Tagged ibu, putri, teka-teki | 2 Comments

	Eka Feida on 1/0 tak hingga atau tak t…
	Lemma Zorn dan Pembu… on Lemma zorn dan pembuktian kebe…
	per on HOAKS tentang Ka’Bah
	danioyo on Mana yang lebih besar?
	danioyo on Mana yang lebih besar?

Blog Matematika Pak Satria

Penjumlahan sin kuadrat

Mana yang lebih besar?

Bentuk Umum

Pembuktian Pythagoras ala Einstein

Kesebangunan

Pembuktian ala Einstein

Untuk semua & terdapat

Penjelasan.

Judi dan lahirnya teori peluang

Kemustahilan dan kemungkinan nol

Akar kuadrat yang cantik

Segitiga Kobon

Membuat Bilangan Asli

Dua ibu dan dua putri

Cari

RSS

langganan Lewat Email

Arsip

Katagori

Kata Kunci

Yang Laris Manis

Yang Baru

Komentar terakhir

Blog teman

Math web or blog

Meta

Anak Bertanya Pakar Menjawab

Twiiter