Pembuktian Prinsip Rumah Merpati

Sumber: Wikipedia

Saya pernah membahas prinsip rumah merpati (pigeonhole priciple) dan contoh aplikasinya di sini.

Prinsip Rumah Merpati: Jika ada n merpati dan m rumah merpati dengan n > m (banyaknya merpati lebih banyak daripada rumahnya) maka paling tidak ada 1 rumah yang diisi lebih dari 1 merpati.

Prinsip yang teramat-amat jelas sekali. Kalo bahasa memenya

Namun di matematika, selama itu bukan aksioma maka kita harus membuktikannya, kita harus meragukannya.

Bukti:

Akan dibuktikan secara kontrapositif. Andaikan m rumah merpati tidak ada yang diisi lebih dari 1 merpati. Itu artinya banyaknya merpati (n) paling banyak m (n≤ m). Padahal diketahui merpati lebih banyak daripada rumahnya (n>m). Kontradiksi

***

Waktu masih kuliah saya sering berkomentar ” ngapain sich kayak begitu pake dibuktiin segala, wong sudah jelas kok”. Eh..ternyata itulah matematika menuntut kita untuk selalu berpikir kritis bahkan untuk sesuatu yang sudah jelas sekalipun

Posted in pembuktian | Tagged , , | Leave a comment

Tali Mengitari Bumi

Menurut mbah Google, keliling Bumi adalah 40.075km atau lebih dari 40 juta meter. Sekarang bayangkan ada tali yang mengitari sekeliling garis khatulistiwa dengan panjang yang sama dengan keliling bumi. Itu artinya tali tersebut menempel di Bumi tanpa ada celah sama sekali. Selanjut tali tersebut kita perpanjang 1 meter (Cuman 1 m bukan 1 km lho). Tentu saja hal tersebut akan menciptakan celah antara tali dan bumi. Nah..yang jadi pertanyaan:

Apa objek terbesar yang bisa melalui celah tersebut?

  • Jarum
  • Kelereng
  • Kucing
  • Pesawat

Intuisi kita mengatakan celah yang tercipta pasti sempit karena kita hanya menambakan 1 meter dari keliling yang berukuran dari 40 juta meter .Padahal sbenernya lebar celah gak sempit-sempit ama yaitu 16 cm. Bisa dilalui oleh kucing. Eh..kalo kucing yang gede, yang obesitas belum tentu juga sich

Continue reading
Posted in geometri, teka-teki | Tagged , , | Leave a comment

Apa bilangan prima terkecil?

Saya menemukan paper yang menarik berjudul “What is the Smallest Prime?

Apa bilangan prima terkecil?

Sekarang jawaban dari pertanyaan teramat jelas, terang benerang bahwa 2 adalah bilangan prima terkecil tetapi dulu tidak demikian jawabannya. Ada masa dimana 1 dianggap sebagai bilangan prima terkecil. Sampai awal abad 20 mayoritas matematikawan menganggap 1 adalah prima.

Membicarakan keprimaan sulit rasanya jika tidak membicarakan Torema Fundamentar Aritmatika [TFA]

TFA: Setiap bilangan bulat postif kecuali 1 bisa direpesentasikan tepat satu saca sebagai hasil perkalian satu atau beberapa prima.

Untuk bukti silahkan klik di sini. TFA ini menjadikan bilangan prima seperti atom yang menyusun suatu bilangan bulat positif. Setiap bilangan memiliki struktur atom yang unik yang berebada satu saa lain. Sebagai contoh 4=2×2, 6=2×3, 11=11 (karena prima).

TFA ini adalah alasan atau argumen mengapa 1 bukan bilangan prima, karena jika 1 bilangan primana aka ada banyak cara merepresentasikan bilangan bulat postif sebahai hasil kali bilangan=bilangan prima

4=2×2=2×2×1=2×2×1×1=2×2×1×1×1×1×1×1

Padahal TFA mensyaratkan tepat satu cara.

Kalau begitu dulu belum ada TFA, eh..jangan salah TFA adalah salah satu teorema pertama di Matematika. TFA dicetuskan oleh matematikawan yunani kuno, Euclid yang hidup sekitar abad ke-3 SM. Gak usah bingung dulu, itu karena

Dulu satu bukan bilangan

Kalau 1 bukan bilangan lalu satu itu makanan apa? Pada buku 7 dari Elements, Euclid mendefiniskan unit, bilangan dan prima sebagai berikut:

Continue reading
Posted in aljabar | Tagged , | Leave a comment

Pembuktian satu kali satu sama dengan satu

Sumber: IMDB

Saya menemukan berita lama tahun 2015 yang menggelitik saya. Berita tersebut mengatakan artis Terence Howard (yang saya ingat dia memerankan Kolenel James Rhodes di film Iron Man pertama), dia tidak bisa menerima 1×1=1 menurutnya 1×1 harusnya 2.

“How can it equal one? If one times one equals one that means that two is of no value because one times itself has no effect. One times one equals two because the square root of four is two, so what’s the square root of two? Should be one, but we’re told its two, and that cannot be.”

Dia berargumen karena 4 =2 maka haruslah 2=1 itu berarti 12 =1×1=2.

Sekarang mari buktikan (secara sederhana bukan formal matematis) bahwa 1×1=2. Btw sebenarnya secara Matematis tepatnya Aljabar, hasil dari 1×1 itu bisa berapapun tergantung bagaimana operasi × didefinisikan. Tentu saya disini kita mengasumsikan operasi perkalian yang dimaksud oleh Om Howard adalah operasi perkalian yang digunakan sehari-hari.

Banyak Matematikawan yang mengatakan Bahasa dan Matematika itu 2 hal yang serupa. Saya sendiri memahami matematika dan bahasa memiliki kaidah yang sama. Perhatikan kalimat berikut

Continue reading
Posted in dll, pembuktian | Leave a comment

Identitas Cassini

Sudah lama saya tidak membahas bilangan Fibbonacci, buat yang belum tahu bbilangan tersebut berawal dari 0 dan 1 dan bilangan selanjutnya adalah penjumlahan 2 bilangan sebelumnya secara berutatan. Secara umum, jika F_n adalah bilangan Fibonacci ke-n maka F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}. Denagan aturan sederhana ini maka kita mendapat barisan fibonacci sebagai berikut

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Fibonacci memiliki sifat yang menarik, silahkan perhatika tabel berikut

\begin{array}{ccc} n & F_{n}^{2} & F_{n-1}\cdot F_{n+1}\\ 1 & 1^{2}=1 & 0\cdot1=0\\ 2 & 1^{2}=1 & 1\cdot2=2\\ 3 & 2^{2}=4 & 1\cdot3=3\\ 4 & 3^{2}=9 & 2\cdot5=10\\ 5 & 5^{2}=25 & 3\cdot8=24\\ 6 & 8^{2}=64 & 5\cdot13=65 \end{array}

Sudah terlihat polanya? Tampalnya kuadrat dari suatu bilangan Fibonacci dan hasil kali bilangan Fibonacci sebelum dengan sesudahnya selalu berbeda 1. Kalau kita perharikan lagi untuk n ganjil maka F_{n}^{2} lebih besar 1 daripada F_{n-1}\cdot F_{n+1}. Sedangkan untuk n genap berlaku sebaliknya.

Secara aljabar hal tersebut dapat ditulis

F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

Identitas diatas dianamakan Identitas Cassini karena pertamakali dipublikasilan oleh Astronomer Italia Gian Domenico Cassini pada tahun 1680

Sekarang mari kita buktikan dengan metode Induksi Matematika.

Langkah Dasar

Untuk n=1 maka

F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot1-1^{2}=-1=(-1)^{1}

Terbukti benar untuk n=1

Langkah Induksi

Ambil n=k, diasumsikan benar untuk

F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}

Akan dibuktikan, untuk n=k+1 maka berlaku

Continue reading
Posted in aljabar | Tagged , | 2 Comments

Pisau Cukur Occam (Jangan lebay dalam berpikir)

Sumber: rationally speaking

Pisau Cukur Occam (Occam’s Razor) adalah prinsip berpikir dalam sains dan tentu saja Matematika. Prinsip ini berkata

entities should not be multiplied without necessity

Prinsip ini diambil dari nama Fransiskan Inggris William of Occam yang hidup di abad ke-13 Jika diterjemahkan secara bebas: entitas tidak boleh dilipat gandakan tanpa kebutuhaan. Prinsip ini adalah prinsip kesederhanaan dalam sains. Kita hanya menggunakan hal-hal yang dibutuhkan saja, yang tidak dibutuhkan bisa kita buang, kita potong, ibarat jambang di wajah yang merusak kerapihan.

Tanpa kita sadari pisau cukur Occam sering kita gunakan dalam matematika, khusunya dalam menjawab soal cerita.

  • Tono anaknya Pak Broto dan Bu Anik mendapatkan 3 permen dari Bude Nunung sedangkan dari pak Adi yang merupakan tetangganya, memberikan 5 permen ke Tono. Berapa jumlah permen yang dimiliki Tono?

Untuk menjawab soal diatas kita harus bisa membuang hal-hal yang tidak penting dan hanya menyisakan hal-hal yang penting saja yaitu 3 permen dan 5 permen

Continue reading
Posted in Logika | Tagged , , | Leave a comment

Paradoks Garis Pantai

Sumber: Google Maps

Portugal dan Spanyol, 2 negara yang bertetangga, nah..apakah kalian tahu berapa panjang garis batas kedua negara tersebut? Menurut wikipedia, panjangnya tergantung siapa yang ngukur. Pihak Spanyol mengukur panjangnya adalah 1232 km, sedangkan kata porugal panjangnya 1214 km. Ada perbedaan 18 km lalu mana yang benar? Pengukuran spanyol atau portugal? Err..dua-duanya benar. Perbedaan panjang garis batas spanyol dan portugal adalah contoh nyata dari Paradoks garis pantai (Coastline Paradox)

Bagaimana mengukur panjang garis pantai / garis batas suatu negara?

Iya kalo sekarang bisa mengunakan satelite tetapi dijaman dulu para geografer mengunakan peta berskala besar atau foto udar dan pengaris-pengaris kecil yang panjangnya sama yaitu l. Geografer akan menyusun pengaris-penggaris tesebut di atas garis pantai/ batas dengan ujung-ujung pengaris berpotongan dengan garis pantai. Misalkan suatu garis pantai dapat ditutupi oleh n pengaris maka panjang garis pantai tesebut adalah n×l× skala peta

Lewis Fry Richardson (1881-1953) Matematikawan asal Ingris menyadari bahwa semakin kecil penggaris, semakin kecil l maka panjang garis pantai akan semakin panjang. Jika l mendekati nol maka panjang garis mendekati tak hingga,

Continue reading
Posted in fractal, Paradoks | Tagged , , | 2 Comments

Metode sederhana mencari akar-akar persamaan kuadrat

  • Tentukan akar-akar darix^{2}+5x+6

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat diatas dengan metode pemfaktoran, biasanya saya meminta peserta didik saya untuk mencari Errr lebih tepat dikatakan menebak-nebak 2 bilangan p dan q yang dijumlah hasilnya 5 dengan kata lain (p+q=5) dan hasil kalinya 6 atau ( p×q=6) selanjutnya p dan q kita ubah tanda diperolehlah akar-akar dari persamaa kuadrat diatas. Dengan mudah kita tahu bahwa p dan q yang kita inginkan adalah p=3 dan q=2, tinggal kita ubah tanda menjadi -3 dan -5 sehinga menjadi akar-akar dari x^{2}+5x+6=0

Nah..instruksi diatas bisa sedikit kita modif sebagai berikut akar-akar dari x^{2}+5x+6 adalah a dan b yang memenuhi a+b=-5 (disini kita ganti tanda) dan a×b=6 (tidak perlu ganti tanda karena a×b=-a×-b )

Secara umum jika x^{2}+bx+c memiliki akar p dan q maka berlaku p+q=-b dan p×q=c.

  • Tentukan akar-akar dari 2x^{2}+2x-1=0

Supaya koefisien x^2 menjadi 1, kita bagi dengan 2 sehingga menjadi

x^{2}+x-\frac{1}{2}

Sekarang kita tingal menebak-nebak p dan q yang memenuhi p+q=-1 dan pq=-\frac{1}{2}.

Continue reading
Posted in aljabar | Tagged , | Leave a comment

Jarak Taksi

Minggu lalu, pada salah satu slide yang saya berikan ke siswa, saya berkata

Mmm… sebenernya definisi tesebut kurang tepat, Jarak sebagai panjang garis yang menghubungkan 2 titik sebenermya merupakan salah contoh bentuk jarak yang dinamakan Jarak Euclidean. Ya..jarak ada macam-macam bentuknya, Jarak Euclidean adalah bentuk jarak paling umum, paling biasa.

Dalam bidang diberikan 2 titik A=\left(a_{1},a_{2}\right) dan B=\left(b_{1},b_{2}\right). Jarak Euclid dari A ke B didefinisikan

J\left(A,B\right)=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}}

Ya..Jarak Euclidean adalah aplikasi dari dalil Phytagoras.

Kita memang mengartikan jarak sebgai panjang jalur terpendek yang menghubungkan 2 titik. Idealnya jalur tersebut berbentuk garis lurus tetapi seringkali kondisi ideal jarang terjadi. Kita belum tentu selalu bisa menghubungkan 2 titik dengan garis lurus

Sumber: Math.uci.edu
Continue reading
Posted in geometri | Tagged | Leave a comment

Dimensi Pecahan

Ini lanjutan postingan sebelumnya, sekarang kita akan membahas objek-objek Geometri yang nilai dimensinya bukan cacah melainkan pecahan. Objek geometri yang dimensinya bernilai pecahan dikenal dengan sebutan Fractal. Ada 2 fractal yang akan dibahas disini sebagai contoh objek berdimensi pecahan

SEGITIGA SIERPINSKI

segitiga sierpinski

Sumber: jwilson.coe.uga.edu

Kita ambil sembarang segitiga S pada bidang, kemudian

  1. kita pecah S menjadi 3 bagian yang memiliki kesamaan diri dengan skala 1/2. Jadi S tersusun dari 3 pecahan berskala 1/2 dari dirinya, Bisa kamu lihat tengahnya bolong tapi itulah inti dari Segitiga Sierpinski
  2. Lakukan langka yang sama pada segitiga pecahannya
  3. Ulangi terus-menerus prosesnya

Evolusi Segitiga Sierpinski

Evolusi Segitiga Sierpinski, sumber Wikipedia

Sekarang kita hitung dimensinya.  Segitiga S tersusun dari 3 pecahan dengan skala 1/2, diperoleh

Continue reading

Posted in fractal | Tagged , , | 1 Comment