Mana yang lebih besar?

Mana yang lebih besar 2020^{2021} atau 2021^{2020}?

Kita tidak bisa menjawab soal di atas dengan kalkulator karena layarnya tidak akan muat bahkan google sekalipun menganggap 2020^{2021} itu tak hingga.

Untuk menjawab soal diatas, kita harus melakukan sedikit observasi

  • 1+\frac{1}{1}=1
  • (1+\frac{1}{2})^2=2,25
  • (1+\frac{1}{3})^3=2,370
  • (1+\frac{1}{4})^4=2,441
  • (1+\frac{1}{5})^5=2,488

Terlihat nilainya semakin lama semakin membesar, jika iterasi itu terus kita lakukan, kita akan mendapatkan nilai limit

\lim_{n \to \infty }(\,1+\frac{1}{n})\,^n\approx 2,71828=e

Bilang e sering disebut sebagai bilangan Euler. Nah kita menggunakan bilangan ini, untuk menjawab soal di atas.

Berdasarkan fakta diatas, diperoleh

(\,1+\frac{1}{2020})\,^{2020}<e

(\,\frac{2021}{2020})\,^{2020}<e

\frac{2021^{2020}}{2020^{2020}}<e

2021^{2020}<2020^{2020}\cdot e (i)

Karena e<2020 maka

2020^{2020}\cdot e<2020\cdot2020^{2020}

2020^{2020}\cdot e<2020^{2021} (ii)

Dari (i) dan (ii), serta sifat transitif pada ketidaksamaan, disimpulkan

2021^{2020}<2020^{2021}

Jadi 2020^{2021} lebih besar daripada 2021^{2020}

Bentuk Umum

Dengan cara yang sama dengan yang diatas, dapat kita simpulkan

Jika e<n maka berlaku

(n+1)^n<n^{n+1}

Posted in soal | Tagged , , | 43 Comments

Pembuktian Pythagoras ala Einstein

Mungkin ini tulisan saya yang ke-5 mengenai pembuktian rumus Pythagoras. Saya pernah membahas pembuktian Pythagoras ala Da vinci, sekarang yang akan saya bahas ala Einstein. Yup..Einstein yang saya maksud adalah Albert Einstein.

Dari semua pembuktian Pythagoras yang saya ketahui, boleh dibilang pembuktian ala Einstein ini yang paling sederhana dan intuitif. Einstein hanya menggunakan konsep kesebangunan untuk membuktikannya

Kesebangunan

Dua bangun datar A dan B dikatakan sebangun, dengan notasi A \sim B jika yang satu merupakan miniatur yang lain dengan faktor skala k. Jika A luasnya n satuan persegi maka luas B adalah k²n satuan persegi.

Sebagai contoh diberikan persegi dengan panjang 3 cm dan lebar 2 cm, tentu saja luasnya 6 cm². Jika persegi tersebut kita persbesar 3 kali lipat maka panjangnya menjadi 9 cm, lebarnya 6 cm dan luasnya 54=3²×6 cm²

Secara matematika, ada 2 syarat dua bagun datar dikatakan sebagun jika

  • Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
  • Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama

Pembuktian ala Einstein

Sekarang kita masuk ke pembuktiannya. Diberikan segitiga siku-siku, pertama-tama kita tarik garis tegak lurus dari sisi miring ke sudut siku-siku

Continue reading
Posted in geometri, pembuktian | Tagged , , | 27 Comments

Untuk semua & terdapat

Sumber: freepik.com

Bagi yang mempelajari logika tentunya tahu ada 2 kuantifikasi/kuantor yang digunakan. Pertama adalah kuantor universal, simbolnya \forall yang artinya semua, setiap, seluruh, sebarang. Yang keduaadalah kuantor eksistensial, simbolnya \exists yang artinya terdapat, ada, sebagian, tidak semua.

Suatu pernyataan yang memuat 2 kuantor, jika urutannya kita tuka maka maknanya bisa saja beubah

Perhatikan 2 pernyataan berikut:

  1. (\, \forall x,\exists y \in \mathbb{N})\,x=y . Untuk semua semua bilangan asli x terdapat bilangan asli y sedemikian hingga x=y.
  2. (\,\exists y \forall x\in \mathbb{N})\,x=y. Terdapat bilangan asli y sehingga untuk semua bilangan asli y berlaku x=y.

Yang pertama bernilai benar sedangkan yang kedua salah.

Penjelasan.

Yang pertama jelas untuk semua bilangan asli x berlaku x=x. Nilai y mengikuti x, kita tidak bisa mengambil sembarang y. Itu sebabnya kuantor untuk y adalah kuantor eksistensial

Yang kedua artinya kita mencari y sedemikian hingga apapun bilangan asli x yang diambil berlaku x=y. Apakah ada y yang memenuhi y=1=2=3=\cdots? Jelas tidak.

Posted in Logika | Tagged | 21 Comments

Judi dan lahirnya teori peluang

Sumber: larsdatter.com

Menurut sejarah, Teori peluang sebagai cabang dari Matematika berasal dari judi. Yup judi, teori peluang lahir karena kebutuhan pejudi menganalisis taruhannya. Pejudi yang bisa dikatakan menginisasi lahirnya teori peluang adalah Antoine Gombaud (1607 – 29 December 1684) tapi dia biasa dipanggil dengan nama Chevalier de Méré yang artinya Ksatria dari Méré

Pada abad 17, di Prancis sedang trend permainan lempar dadu. Ketika itu pejudi mengunakan insting dan pengalaman untuk menentukan taruhan tapi tidak dengan om Gombaud, dia berpikir melakukan analisa sebelum berjudi.

Salah satu permainan dadu yang populer ketika itu adalah Mana yang lebih mungkin untuk mucul

  1. Mendapatkan paling sedikit satu mata 6 dari pelemparan sebuah dadu sebanyak 4 kali
  2. mendapatkan paling sedikit satu mata 6 ganda pelemparan sepasang dadu sebanyak 24 kali.

Mas Goumbaud berpendapat dua kejadian tersebut nilai peluangnya sama saja

Dia berargumentasi

  1. Peluan munculnya mata 6 dari pelemparan sebuah dadu adalah \frac{1}{6}.Jika dilempar 4 kali maka peluangnya adalah 4\times \frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
  2. Peluang munculnya mata 6 ganda dari pelemparan sepasang dadu adalah \frac{1}{36}.Jika dilempar 24 kali maka peluangnya adalah 24\times \frac{1}{36}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}

Peluangnya sama saja akan tetapi ketika dia bertaruh untuk sepasang dadu yg dilempar 24 kali, dia kalah melulu.

Hal tersebut membuat dia penasaran apa yang salah dengan cara berpikirnya sehingga dia bertanya kepada Matematikawan hebat di jaman itu Blaise Pascal.

Continue reading
Posted in probabilitas | Tagged , | 8 Comments

Kemustahilan dan kemungkinan nol

Sumber: chicago tribune

Dalam teori peluang

Suatu kejadian yang mustahil sudah pasti kemungkinannya nol tapi sebaliknya tidak berlaku, kejadian yang kemungkinannya nol belum tentu mustahil

Nah..sekarang akan saya berikan contoh kejadian yang kemungkinannya nol tapi tidak mustahil

  • Memilih secara acak suatu bilangan dari seluruh bilangan asli. Bukanlah hal yang mustahil kamu memilih 7 tapi kemungkinannya adalah P(7)=\frac{1}{\infty}=0
  • Kemungkinan suatu titik di papan panah terkena anak panah adalah nol. Ada tak hingga banyaknya titik di papan panah membuat kemungkinan suatu titik terkena panah adalah \frac{1}{\infty}=0 namun anak panah akan mengenai suatu titik di papan membuat kejadian tersebut mungkin meskipun kemungkinannya nol

Lalu sekarang pertanyaannya

Apa itu kemustahilan?

Kemustahilan adalah mengharapkan sesuatu yang tidak ada. Bahasa matematikanya P(\emptyset)=0.

  • Munculny mata dadu 7 dari pelemparan dadu biasa yang matanya cuman sampai 6.
  • Juventus menang pada pertandingan MU vs Real Madrid.

So..jika kamu army yang berharap berjodoh dengan satu personel bts itu bukanlah kemustahilan meskipun kemungkinannya bisa dikatakan nol.

Posted in probabilitas | Tagged , , , , | 10 Comments

Akar kuadrat yang cantik

Sumber: Twitter/.com/pickover

Awal melihat persamaan tersebut, saya langsung berucap “ngaco ini”. Eh tapi ternyata bener.

\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}

Ternyata ada bentuk yang lainnya

  • \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}
  • \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}

Nah…sekarang mari kita cari rumus umumnya

\sqrt{a+\frac{b}{c}}=a\sqrt{\frac{b}{c}}

Dengan b dan c adalah relatif prima Selanjutnya kita kuadratkan kedua sisinya.

a+\frac{b}{c}=a^2\frac{b}{c}

a=a^2\frac{b}{c}-\frac{b}{c}

a=(a^2-1)\frac{b}{c}

\frac{a}{a^2-1}=\frac{b}{c}

Karena b dan c adalah relatif prima maka

a=b dan a^2-1=c

So…disimpulkan rumus umumya adalah

\sqrt{a+\frac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}

Dengan a>1 (mengapa?)

Sekarang kita dengan mudah mengetahui

  • \sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}
  • \sqrt{10\frac{10}{99}}=10\sqrt{\frac{10}{99}}
Posted in kalkulus | Tagged , | 2 Comments

Segitiga Kobon

Sumber: pngio.com

Ada orang Jepang yang bernama Kobon Fujimura yang menemukan sesuatu yang menarik.

Sumber: wikipedia
  • Dengan 3 garis bisa dibentuk 1 segitiga
  • Dengan 4 garis bisa dibentuk 4 segitiga
  • Dengan 5 garis bisa dibentuk 5 segitiga

Tentu saja yang yang jadi pertanyaannya adalah, ada gak sich rumus umumnya

Jika diberikan k garis ada berapa jumlah maksimal segitiga yang tidak tumpang tindih yang dapat kita bentuk?

Sampai sekarang pertanyaan tersebut belum terjawab.

Posted in geometri, teka-teki | Tagged | 4 Comments

Membuat Bilangan Asli



Konon katanya jenis bilangan yang pertama kali dipahami oleh manusia adalah bilangan asli atau orang Jawa bilang Natural Number. Dengan bilangan asli nenek moyang kita mampu membilang, menghitung jumlah hewan buruan atau ternak.

\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}

Waktu SD, kita diajarkan bahwa bilangan asli dimulai dari 0,1,2,3 dst tanpa pernah dijelaskan dst itu syarat atau aturannya apa?

  • Mengapa 10^{1000} adalah bilangan asli?
  • Mengapa 101,01 dan \frac{2}{5} bukan bilangan asli?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita bisa saja mendefinisikan bilangan asli sebagai berikut

\mathbb{N}=\{x|x=1+1+1+\cdots+1 \}

Jadi bilangan asli adalah hasil penjumlahan 1 ke dirinya sendiri sebanyak n kali. Permasalahan dari definisi tersebut apa yang dimaksud dengan n? Kalo kita mengatakan n adalah bilangan asli maka itu adalah circular reasoning , mbulet, muter-muter disitu. Ibarat mau bikin nasi goreng dengan bahan yang dibutuhkan juga nasi goreng.

Berarti definisi diatas gak bisa dipakai, bagaimana kalo sekarang definisinya menjadi.

\mathbb{N}={x|x=0 atau ada y \in \mathbb{N} sedemikian hingga x=y+1}

Definisi yang sederhana, kita membangun bilangan asli hanya dengan nol, satu dan operasi penjumlahan. Nah..sayangnya definisi ini gagal menjawab apakah 101,01 bilangan asli atau bukan? Kita tahu bahwa 101,01=100,01+1, lalu bagaimana memverifikasi 100,01 bukan bilangan asli menggunakan definisi di atas.

Selain itu bilangan real juga memenuhi definisi di atas, ambil sembarang r \in \mathbb{R} maka kita selalu bisa menuliskan r=(r-1)+1 untuk suatu (r -1)\in \mathbb{R}. Padahal bilangan real belum tentu bilangan asli.

Kita gagal membangun bilangan asli dari 0 dan 1 lalu dengan apa kita membangun bilangan asli?

Dengan himpunan kosong \emptyset

Continue reading
Posted in Teori Bilangan | Tagged , , | 1 Comment

Dua ibu dan dua putri

Di suatu ruangan terdapat dua ibu yang masing-masing ditemani oleh seorang putri (Putri kandung ya)

Jadi ada 2 ibu dan 2 putri tetapi di ruangan tersebut cuman ada 3 orang.

Bagaimana bisa?

Yang tahu jawabannya, tulis di kolom komentar ya 😊

Posted in teka-teki | Tagged , , | 2 Comments

Akar Kuadrat

Saya akan memeberikan 2 soal yang serupa tapi tak sama

  1. Tentukan akar kuadrat dari 4
  2. \sqrt{4}=...

Banyak orang beranggapan 2 soal diatas itu sama cuman beda cara penulisannya saja. Yang pertama ditulis lewat kata-kata dan yang kedua ditulis dalam simbol matematika. Oleh karena soal yang sama maka jawabannya tentu saja sama. Tidak semudah itu ferguso.

Soal no.1 jawabannya 2 dan -2 atau sering ditulis ±2 sedangkan no.2 jawabannya adalah 2

Lho bukannya seharusnya \sqrt{4}=\pm 2 ?

Inilah miskonsepsi yang umum terjadi.

Diberikan bilangan real positif x, akar kuadrat dari x adalah y sedemikian hingga y2=x. Dengan kata lain jika y dikuadratkan maka hasilnya adalah x.

Sebagai contoh -2 dan 2 adalah akar kuadrat dari 4, karena 22 = (−2)2 = 4

Jadi benerkan nilai akar kuadrat itu ada dua, yang satu postif dan satunya lagi negatif?

Ya..benar. Nilai akar kuadrat yang positif dinamakan akar kuadrat utama (principal square root) dengan notasi \sqrt{x}, simbol dinamakan tanda radikal ( btw radikal itu artinya akar, haha..balik-bolak begitu)

Jadi \sqrt{x} artinya kita meminta akar kuadrat utama dari x yang nilainya positif.

Sekarang paham ya, \sqrt{4}=2 bukan \sqrt{4}=\pm 2

Posted in dll | Tagged , | Leave a comment