Pisau Cukur Occam (Jangan lebay dalam berpikir)

Sumber: rationally speaking

Pisau Cukur Occam (Occam’s Razor) adalah prinsip berpikir dalam sains dan tentu saja Matematika. Prinsip ini berkata

entities should not be multiplied without necessity

Prinsip ini diambil dari nama Fransiskan Inggris William of Occam yang hidup di abad ke-13 Jika diterjemahkan secara bebas: entitas tidak boleh dilipat gandakan tanpa kebutuhaan. Prinsip ini adalah prinsip kesederhanaan dalam sains. Kita hanya menggunakan hal-hal yang dibutuhkan saja, yang tidak dibutuhkan bisa kita buang, kita potong, ibarat jambang di wajah yang merusak kerapihan.

Tanpa kita sadari pisau cukur Occam sering kita gunakan dalam matematika, khusunya dalam menjawab soal cerita.

  • Tono anaknya Pak Broto dan Bu Anik mendapatkan 3 permen dari Bude Nunung sedangkan dari pak Adi yang merupakan tetangganya, memberikan 5 permen ke Tono. Berapa jumlah permen yang dimiliki Tono?

Untuk menjawab soal diatas kita harus bisa membuang hal-hal yang tidak penting dan hanya menyisakan hal-hal yang penting saja yaitu 3 permen dan 5 permen

Continue reading
Posted in Logika | Tagged , , | Leave a comment

Paradoks Garis Pantai

Sumber: Google Maps

Portugal dan Spanyol, 2 negara yang bertetangga, nah..apakah kalian tahu berapa panjang garis batas kedua negara tersebut? Menurut wikipedia, panjangnya tergantung siapa yang ngukur. Pihak Spanyol mengukur panjangnya adalah 1232 km, sedangkan kata porugal panjangnya 1214 km. Ada perbedaan 18 km lalu mana yang benar? Pengukuran spanyol atau portugal? Err..dua-duanya benar. Perbedaan panjang garis batas spanyol dan portugal adalah contoh nyata dari Paradoks garis pantai (Coastline Paradox)

Bagaimana mengukur panjang garis pantai / garis batas suatu negara?

Iya kalo sekarang bisa mengunakan satelite tetapi dijaman dulu para geografer mengunakan peta berskala besar atau foto udar dan pengaris-pengaris kecil yang panjangnya sama yaitu l. Geografer akan menyusun pengaris-penggaris tesebut di atas garis pantai/ batas dengan ujung-ujung pengaris berpotongan dengan garis pantai. Misalkan suatu garis pantai dapat ditutupi oleh n pengaris maka panjang garis pantai tesebut adalah n×l× skala peta

Lewis Fry Richardson (1881-1953) Matematikawan asal Ingris menyadari bahwa semakin kecil penggaris, semakin kecil l maka panjang garis pantai akan semakin panjang. Jika l mendekati nol maka panjang garis mendekati tak hingga,

Continue reading
Posted in fractal, Paradoks | Tagged , , | 2 Comments

Metode sederhana mencari akar-akar persamaan kuadrat

  • Tentukan akar-akar darix^{2}+5x+6

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat diatas dengan metode pemfaktoran, biasanya saya meminta peserta didik saya untuk mencari Errr lebih tepat dikatakan menebak-nebak 2 bilangan p dan q yang dijumlah hasilnya 5 dengan kata lain (p+q=5) dan hasil kalinya 6 atau ( p×q=6) selanjutnya p dan q kita ubah tanda diperolehlah akar-akar dari persamaa kuadrat diatas. Dengan mudah kita tahu bahwa p dan q yang kita inginkan adalah p=3 dan q=2, tinggal kita ubah tanda menjadi -3 dan -5 sehinga menjadi akar-akar dari x^{2}+5x+6=0

Nah..instruksi diatas bisa sedikit kita modif sebagai berikut akar-akar dari x^{2}+5x+6 adalah a dan b yang memenuhi a+b=-5 (disini kita ganti tanda) dan a×b=6 (tidak perlu ganti tanda karena a×b=-a×-b )

Secara umum jika x^{2}+bx+c memiliki akar p dan q maka berlaku p+q=-b dan p×q=c.

  • Tentukan akar-akar dari 2x^{2}+2x-1=0

Supaya koefisien x^2 menjadi 1, kita bagi dengan 2 sehingga menjadi

x^{2}+x-\frac{1}{2}

Sekarang kita tingal menebak-nebak p dan q yang memenuhi p+q=-1 dan pq=-\frac{1}{2}.

Continue reading
Posted in aljabar | Tagged , | Leave a comment

Jarak Taksi

Minggu lalu, pada salah satu slide yang saya berikan ke siswa, saya berkata

Mmm… sebenernya definisi tesebut kurang tepat, Jarak sebagai panjang garis yang menghubungkan 2 titik sebenermya merupakan salah contoh bentuk jarak yang dinamakan Jarak Euclidean. Ya..jarak ada macam-macam bentuknya, Jarak Euclidean adalah bentuk jarak paling umum, paling biasa.

Dalam bidang diberikan 2 titik A=\left(a_{1},a_{2}\right) dan B=\left(b_{1},b_{2}\right). Jarak Euclid dari A ke B didefinisikan

J\left(A,B\right)=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}}

Ya..Jarak Euclidean adalah aplikasi dari dalil Phytagoras.

Kita memang mengartikan jarak sebgai panjang jalur terpendek yang menghubungkan 2 titik. Idealnya jalur tersebut berbentuk garis lurus tetapi seringkali kondisi ideal jarang terjadi. Kita belum tentu selalu bisa menghubungkan 2 titik dengan garis lurus

Sumber: Math.uci.edu
Continue reading
Posted in geometri | Tagged | Leave a comment

Dimensi Pecahan

Ini lanjutan postingan sebelumnya, sekarang kita akan membahas objek-objek Geometri yang nilai dimensinya bukan cacah melainkan pecahan. Objek geometri yang dimensinya bernilai pecahan dikenal dengan sebutan Fractal. Ada 2 fractal yang akan dibahas disini sebagai contoh objek berdimensi pecahan

SEGITIGA SIERPINSKI

segitiga sierpinski

Sumber: jwilson.coe.uga.edu

Kita ambil sembarang segitiga S pada bidang, kemudian

  1. kita pecah S menjadi 3 bagian yang memiliki kesamaan diri dengan skala 1/2. Jadi S tersusun dari 3 pecahan berskala 1/2 dari dirinya, Bisa kamu lihat tengahnya bolong tapi itulah inti dari Segitiga Sierpinski
  2. Lakukan langka yang sama pada segitiga pecahannya
  3. Ulangi terus-menerus prosesnya

Evolusi Segitiga Sierpinski

Evolusi Segitiga Sierpinski, sumber Wikipedia

Sekarang kita hitung dimensinya.  Segitiga S tersusun dari 3 pecahan dengan skala 1/2, diperoleh

Continue reading

Posted in fractal | Tagged , , | 1 Comment

Menghitung Dimensi

Di postingan mengenai dimensi, saya mengatakan bahwa dimensi-0 itu titik, dimensi-2 itu bidang, dimensi-3 itu ruang, dimensi itu derajat kebebasan. Akan tetapi postingan tersebut saya tidak menjelaskan bahwa ada cara menghitung dimensi, di sinilah saya akan menjelaskannya.

Kesamaan Diri

Sekarang saya akan membahas kesamaan diri Self Similarity. Ide dari kesamaan diri ini adalah pada umunya suatu objek geometris bisa dipecah atau tersusun dari bagian-bagian yang lebih kecil yang memiliki bentuk yang sama dengan dirinya cuman beda ukuran skala saja.

Sumber: Wikipedia

Dari Gambar di atas, kita punya objek dimensi-1 yaitu garis dengan panjang 1 satuan, kita punya objek dimensi-2 yaitu persegi dengan luas 1 satuan persegi, kita punya objek dimensi -3 yaitu kubus dengan volume  1 satuan kubik.

Continue reading

Posted in fractal | Tagged , , , | 1 Comment

Matematika juga perlu Berimajinasi

Pada mulanya saya membagikan Google slide ke murid-murid saya

Di akhir slide saya memberikan pertanyaan

  1. Berapa banyak sisi dan sudut dari hati?
  2. Berapa banyak sisi dan sudut dari Tear drop?
  3. Berapa banyak sisi dan sudut dari lingkaran?
  4. Berapa banyak sisi, rusuk dan sudut dari tabung?
  5. Berapa banyak sisi, rusuk dan sudut dari Kerucut?
  6. Berapa banyak sisi, rusuk dan sudut dari Bola?

Ternyata jawaban mereka beraneka ragam. Itu karena waktu SD kita belajar segitiga punya 3 sisi & 3 sudut, segiempat punya 4 sisi & 4 Sudut tetapi lucunya kita tidak pernah belajar pengertian sisi dan sudut  (termasuk rusuk)

Di pertemaun selanjutnya saya memberikan penjelasan mengenai sisi, sudut dan rusuk

Continue reading

Posted in geometri | Tagged | 3 Comments

Apa itu Dimensi?

Sebenarnya KD ( Kompetesi dasar ) yang pertama matematika wajib kelas XII adalah KD 3.1 Jarak dalam ruang. Akan tetapi sebelum saya membahas kesana, saya terlebih dulu menjelasakn mengenai dimensi, pengertian dimensi menurut matematika

dimensi

Posted in geometri | Tagged | 4 Comments

Pengantar Induksi Matematika

Jujur aja saya merasa pesimis menyampaikan materi seberat Induksi Matematika secara daring. Tapi yach..mau bagaimana lagi keadaan memaksa

Materi Pertemuan pertama Induksi Matematika kelas XI IPA

Induksi matematika

Posted in pembuktian, Uncategorized | Tagged , | Leave a comment

Apa itu Matematika

Seperti yang sudah-sudah di awal pertemuan kelas X, saya memberikan gambaran bahwa Matematika itu lebih dari sekedar berhitung. Karena sekarang pjj (pembelajaran jarak jauh) gambaran tersebut saya sampaikan melalui tulisan

Apa itu Matematika

Posted in dll | Leave a comment