Identitas Euler banyak yang bilang inilah persamaan Matematika yang paling cantik. Karena menghubungkan 5 konstanta utama di Matematika yaitu e, i, π, 0, & 1 hanya dengan operasi aljabar sederhana pangkat dan penjumlahan. Sebenernya sata sudah pernah membahas hal ini sebelumnya. Ketika itu saya menggunakan kalkulus kompleks untuk mendapatkan identitas Euler. Sekarang saya akan menggunakan deret taylor untuk mendapatkannya.
Kita lihat ekspansi deret taylor untuk fungsi eksponensial, sinus dan cosinus:
Selanjutnya kira mulai dari ekspansi deret talyor fungsi eksponen
Kita ganti variabel dengan dimana
Kita tahu bahwa begitu seterusnya, diperoleh
Kita susun ulang, kumpulkan bagian imajiner secara bersamaan diperoleh
Bisa kita lihat, bagian real merupakan deret taylor untuk cosinus sedangkan bagian imajinernya adalah deret taylor untuk sinus, sehingga
Persamaan diatas dinamakan rumus Euler. Nah.. untuk mendapatkan identitas Euler, kita memasukkan π ke x
Kita tahu bahwa dan , dipeoleh
Sekarang kita telah mendapatkan Identitas Euler yang amat cantik
Waktu SD, kita belajar tentang bilangan prima yaitu bilangan asli lebih besar dari 1 yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
10 bilangan asli pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Bilangan asli layaknya atom yang menyusun bilangan. Setiap bilangan bisa difaktorkan menjadi hasil perkalian bilangan-bilangan prima. Istilahnya faktorisasi prima
6=2×3 tersusun dari 2 bilangan prima berbeda
8=2x2x2 tersusun dari 3 bilangan prima.
60=2x2x3x5 tersusun dari 4 bilangan prima
Untuk bilangan prima, hanya memiliki 1 faktor prima yaitu dirinya sendiri.
Dari banyaknya faktor prima yang dimiliki oleh bilangan, kita bisa mengkelompokkan bilangan menjadi 2 kelompok.
Tipe ganjil, jika faktor primanya berjumlah ganjil. Contoh: 8, bilangan prima jelas bertipe ganjil.
Tipe genap, jika faktor primanya berjumlah genap. contoh: 6, 60
Pada tahun 1919, Matematikawan Hungaria,George Pólya menuliskan dugaan:
Dugaan Pólya: Dari 2 sampai dengan n, munculnya bilangan tipe ganjil lebih banyak daripada tipe genap.
Sebagai contoh, kita ambil n=10, itu artinya dari 2 sampai 10, kita mendapatkan 5 tipe ganjil yaitu 2, 3, 5, 7, 8 dan 4 tipe genap yaitu 4, 6, 9, 10.
Yang namanya dugaan kan bisa bener bisa salah, dugaan gak ada bedanya dengan tebak-tebakkan. Secara intuisi dugaan tersebut terasa benar, dari 2 sampai n, semakin besar n yang kita pilih maka kita semakin sering bertemu bilangan prima yang sudah dipastikan bertipe ganjil, sedangkan untuk bilangan komposite bisa bertipe ganjil atau genap.
Sumber: wikipedia
Grafik ditas menunjukkan banyaknya tipe genap dikurang tipe ganjil dari 2 sampai 10juta. Terlihat bernilai negatif artinya tipe ganjil selalu unggul. Dari grafik sepertinya mustahil membayangkan tipe genap menang.
Apakah bisa kita simpulkan Dugaan Pólya itu benar?
Umumnya fallacy pembuktian 1=2 melibatkan pembagian dengan nol ( division by zero). Namun fallacy di atas tidak melibatkan hal itu. Sekarang mari kita bahas, apa yg salah dari gambar di atas.
Persamaan hanya berlaku untuk bilangan asli, . Jika persamaan tersebut diubah kebentuk fungsi, kita mendapatkan fungsi dengan . Fungsi tersebut memetakan bilangan asli ke bilangan asli, dengan kata lain domain dan codomainnya adalah bilangan asli.
Sekarang kita lihat definisi turunan suatu fungsi. Turunan dari fungsi didefinisikan
Itu berarti turunan dari adalah
Permasalahannya terletak pada yang bukan bilangan asli karena sangat kecil mendekati nol. Ambil contoh dan , jelas bukan lah bilangan asli. Jika bukan bilangan asli maka dengan sendirinya juga bilangn asli. Padahal meminta input dan outputnya haruslah bilangan asli.
So..disimpulkan tidak memiliki turunan, kalo dipaksakan bakal ngaco seperti gambar diatas.
Dengan mudah kita simpulkan bahwa 2 himpunan diatas itu sama . Karena semua elemen termuat di , Himpunan adalah himpunan bagian dari begitupula sebaliknya vice versa .
Dari contoh diatas, kita bisa mengatakan dua buah himpunan & dikatakan sama jika berlaku dan .
Misalkan ada 2 himpunan kosong & , akan ditunjukkan bahwa . Itu artinya kita harus menunjukkan dan .
Bagaimana caranya? Kan himpunan kosong tidak mempunyai anggota.
Di postingan sebelumnya saya menyinggung prinsip pengurutan yang baik Well-ordering principle
Setiap himpunan tak kosong yang beranggotakan bilangan asli mempunyai elemen terkecil
Prnsip yang teramat jelas, yang terang benerang, sebagai contoh
Jelas ketiga himpunan di atas menpunyai elemen terkecil. Sedangkan , interval terbuka dari 0 sampai 1 tidak mempunyai elemen terkecil. Misalkan ada elemen terkecil dari maka kita selalu bisa mengkontruksikan bilangan yang lebih kecil dari yaitu , tentu saja . Itu karena berisikan anggota bilangan real bukan bilangan asli sehingga tidak berlaku prinsip pengurutan yang baik.
Andaikan himpunan tak kosong yang beranggotakan bilangan asli dan tidak mempunyai elemen terkecil.
Diberikan
Karena tidak mempunyai elemen terkecil maka . Andaikan saja maka akan menjadi elemen terkecil di padahal tidak mempunyai elemen terkecil. Jadi jelas haruslah . Jelas juga bahwa
Asumsi maka setiap bilangan asli yang kurang atau sama dengan juga kurang atau sama dengan untuk setiap . Itu berarti , karena maka .
Jika maka akan menjadi elemen terkecil di . Haruslah
Dengan prinsip induksi matematika, berakibat . Artinya yang kontradiksi dengan asumsi S bukan himpunan kosong. Oleh karena itu dapat disimpulkan setiap himpunan tak kosong yang berisikan bilangan asli haruslah mempunyai elemen terkecil.
Hal yang menarik dari Matematika atau menyebalkan tergantung sudut pandang kita. Matematika selalu menuntut pembuktian bahkan kepada sesuatu yang sudah teramat jelas, yang terang benerang.
Teorema: Tidak ada bilangan asli diantara nol dan satu.
Bilangan asli itu , dimulai dari nol dilanjutkan ke-1. Jelas banget tidak ada bilangan asli diantara keduanya, anak SD pun tahu gak perlu dibuktikan. Namun dalam matematika, selama itu bukan aksioma maka hal tersebut harus dibuktikan.
Untuk membuktikan teorema diatas kita menggunakan prinsip pengurutan baik well-ordering priciple
Prinsip pengurutan baik: Setiap himpunan tak kosong yang berisikan bilangan asli mempunyai elemen terkecil.
Diberikan , himpunan yang berisikan bilangan-bilangan asli diantara nol dan 1.
Berdasarkan prinsip pengurutan baik, himpunan mempunyai elemen terkecil sebut saja dengan
Ada 100 penumpang mengantri satu-persatu untuk masuk ke dalam pesawat yang juga berkapasitas 100 kursi. Penumpang pertama kehilangan tiketnya sehingga dia duduk sembarang. Penumpang berikutnya akan duduk sesuai tiket tapi jika tempat duduknya sudah diduduki maka dia akan duduk secara acak. Berapa peluang penumpang ke-100 duduk di kursinya sendiri sesuai tiket?
Banyak yang berpikiran jawabannya adalah dengan argumen dari 100 kursi tersisa 1 kursi. Jadi peluangnya 1 banding 100. Salah
Yang betul peluang 50%. Ya memang tersisa 1 kursi kosong ketika penumpang terakhir masuk. Namun hanya ada 2 kemungkinan kursi kosong tersebut memang kursi dia sendiri atau kursi si penumpang pertama
Lho kok bisa?
Misalkan saja menurut tiket penumpang pertama menempati kursi #1, penumpang ke-2 di kursi #2, begitu seterusnya sampai penumpang ke-100 di kursi #100.
Penumpang pertama masuk, dia bakal melihat 100 kursi kosong, akan terjadi 3 skenario.
Skenario 1
Dia duduk di kursinya sendiri, kursi #1 kalau ini yang terjadi maka semua orang duduk di kursinya masing-masing. Semua senang happy ending. Peluangnya kecil cuman
Skenario 2
Dia duduk di kursi #100. Artinya penumpang ke-2 sampai ke-99 duduk sesuai tiket sedangkan penumpang ke-100 duduk di kursi #1. Dengan kata lain penumpang pertama dan terakhir bertukar tempat. Peluangnya juga
Skenario 3.
Ini yang paling mungkin, dia memilih duduk di kursi dengan . Jika begitu penumpang ke-2 sampai ke- akan duduk dikursinya sendiri.
Yeaah..ini tulisan pertama di 2022. Semoga aja di tahun ini saya lebih aktif ngeblog, amiin 😊
Kali ini kita bahas trigonometri. Perhatikan deret trigonometri berikut:
Untuk menjawabnya, kita mengunakan 2 identitas trigonometri.
(i)
(ii)
Selajutnya deret tersebut kita susun ulang. Suku pertama dijumlahkan dengan suku terakhir, suku kedua dengan suku kedua dari terakhir begitu seterusnya
Kita mendapatkan sebagai titik tengah. Nilai ini kita simpan dulu.
Selanjutnya dengan menggunakan (i) lalu (ii), diperoleh
Kita mendapatkan 1 sebanyak 44. So..disimpulkan
Mm..menurut saya, soal diatas punya langkah-langkah penyelesaian yang cukup cantik.