Perhatikan

1/3=0.33333333……

1=3 x 0.3333333…..

1=0.99999999…

Kenapa begitu? kenapa 0.9999999…dianggap sama dengan 1?

Dalam analisis real (bidang dari matematika yang mempelajari bilangan real) ada teorema yang disebut teorema density, teorema kepadatan yang bunyinya:

Setiap x dan y dua bilangan real yang berbeda dimana x<y  maka SELALU ada bilangan rasional r dimana x<r<y

Pertanyaannya apa ada r diantara 1 dan 0.9999999 (0.9999999999… <r<1)?

Ingat r adalah bilangan rasional yang artinya r adalah hasil dari pembagian dua bilangan bulat. kita misalkan r=m/n diamana m,n bilangan bulat maka

0.9999999999… < m/n <1

0.9999999999… n<m<n

Jelas tidak ada m, n bilangan rasional yang memenuhi pertidaksamaan diatas, dengan kata lain tidak ada r bilangan rasional diantara 0.9999999999… dan 1. Artinya 1 dan 0.9999999999… adalah bilangan yang sama.

Cara lain melaluideret geometri tak hingga

0.9999999999…=(9/10)+(9/100)+(9/1000)…..

0.9999999999…=9x (0.1+0.01+0.0001+………)

Dengan a=9 dan r=0,1, rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah (ar)/(1-r) maka

0.9999999999…=(9×0.1)/(1-0.1)

0.9999999999…=1