akar 2

\sqrt{2}=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807...

Boleh dibilang \sqrt{2} adalah bilangan irasional pertama yang ditemukan oleh manusia. Ditemukan tanpa sengaja oleh pythagoras melalui rumus pythagorasnya yang terkenal

sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuam

sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuam

Konon munurut legenda Pythagoras tidak percaya bahwa \sqrt{2} adalah bilangan irasional, bahkan dia percaya tidak ada bilangan irasional, semua bilangan real adalah bilangan rasional. Sampai suatu saat seseorang bernama Hippapus membuktikan bahwa bilangan irasional itu ada. Pythagoras marah lalu bersama murid-muridnya Pythagoras menenggelamkan Hippapus hingga mati (wuih..kalo gitu Pytagoras pembunuh dong).

Pembuktian \sqrt{2} adalah Irasioanal

Untuk membuktikan \sqrt{2} adalah Irasioanal kitab menggunakan metode kontadiksi (proof by contradiction). Yaitu dengan mengasumsikan bawha lawan dari pernyataan/dalil adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan.dalil tersebut benar.

kita asumsikan bahwa \sqrt{2} adalah rasional artinya ada bilangan bulat a dan b dimana \sqrt{2}= a/b, dengan a dan b relative prima (FPB a dan b adalah 1), maka

(\sqrt{2 )^2}= (a/b)^2

2=a^2/b^2

2b^2=a^2

Maka a^2 adalag genap karena sama dengan 2b^2, yang menyebabkan a juga genap ( akar dari bilangan genap juga genap) maka ada bilangan bulat k, dimana a=2k, subtitusi ke persamaan diatas kita peroleh

2b^2=(2k)^2

2b^2=4k^2

b^2=2k^2

Maka b^2 genap, yang mengakibatkan b juga genap,

Jadi kita bisa menyimpulkan a dan b adalah genap habis dibagi 2 padahal menurut asumsi a dan b adalah relative prime, terjadi kontadiksi maka pengamsumsian kita salah, yang berarti \sqrt{2} terbukti bilngan irasional

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in irasional, probabilitas and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

35 Responses to akar 2

  1. Defita says:

    saya masih bingung…

  2. Nida says:

    nuhun pisan cuii…..

  3. mr. T says:

    Nice…penjelasannya cukup sikat dan dapat di jadikan refrensi thx…

  4. sukses says:

    Subhanallah!!!

    keren abizzzzzzzzzzz penjelasannya!!!!

    jujur ana seneng banget deh!!!

    mau dong belajar banyak tentang MTK.
    soalnya ana mahasiswa smster awal jurusan matematika.
    mohon bantuannya!!
    : )

  5. watchmath says:

    Dengan faktorisasi bilangan prima kita bisa mendapatkan hasil yang lebih umum: \sqrt{p} irrasional untuk setiap bilangan prima.
    Msalkan rasional, maka dengan mengkuadratkan didapat pb^2=a^2.
    Karena p membagi a^2, p harus muncul sebagi faktor dari a, akibatnya a^2 paling tidak memiliki faktor p^2. Karena di ruas kiri baru muncul satu faktor p, maka p juga haruslah merupakan faktor dari b.

    Akibatnya ruas kiri memiliki faktor p^n dengan ganjil dan ruas kanan memiliki faktor $p^m$ dengan m genap. Karena faktorisasi prima bersifat tunggal, ini tidak mungkin terjadi.

  6. Marcell says:

    terus gimana kalau akar 13. berarti kita asumsikan bahwa akar 13 rasional, maka 13b2 = a2.
    ruas kiri tidak ganjil ataupun genap, gimana ?

  7. Aria Turns says:

    @ syasya
    Rumus ngitung akar? waduh jujur saya udah lupa tuch
    apa yang saya tulis diatas bukun rumus mencari akar 2 tetapi membuktikan bahwa akar 2 adalah bilangan irasional

  8. syasya says:

    wah,jadi bingung juga liat pembuktiannya…

    aku juga dapet tugas dari dosen ttg ini.

    oh iya aku mau dunk rumus2 buat ngitung akar akar yang lain

    makasih ya

  9. Aria Turns says:

    @ rini
    biasanya sich kalo kayak gitu liat polanya ntar ada yang beda..
    tapi gak tau juga ding lagi malez mikir hehe 😀

  10. rini says:

    gak nyambung sih, tapi sy penasaarn je..
    maksunya berbeda sendiri itu apa ya???

    Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
    2___3___6___7___8___9

    Soal Kedua:
    Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
    146___328___542___782___964

    Soal Ketiga:
    Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
    10001___20153___39845___41587___58790___68798

    Soal Keempat:
    Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
    1537___4674___6601___8159___8651___9266

    Soal Kelima:
    Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
    1156___2025___3136___4489___5776___6084___7921

  11. Yari NK says:

    Aha… iya…. kunci pengertian pembuktian ini adalah… antara dua bilangan genap tidak akan pernah bisa menjadi coprime ya??

  12. Aria Turns says:

    @ afasmt
    Halo..pak Rohedi, ditunggu oleh2nya ya 😀

  13. afasmt says:

    Oh ya bang Aria komentar saya di harian penulislepas.com

    http://www.penulislepas.com/v2/?p=1105

    ada yang berhubungan dengan ESQ (di komentar kedua) yang ramai didiskusikan itu.

    Saya setuju dengan bang Aria, kita harus membenahi salah kaprah yang terjadi selama ini.

    Salam…

  14. afasmt says:

    Halo bang Aria dkk,

    Saya dari Turki mampir dulu di MIMOS (LIPInya Malaysia). Saya buka blog ini, wow ramai sekali commentsnya, saya turut senang karena misi bang Aria mencerdaskan anak bangsa terwujud. Maaf, karena kunjungan short research saya sangat padat sehingga saya absen berkomentar. Tapi aktifitas saya sebagai jurnalis amatiran jalan terus. Ini ada tulisan saya mudah2an membantu bang Aria dkk untuk membantu adik2 kecil gemar ngitung akar bilangan yang sempat saya tanyakan dulu itu.

    http://www.penulislepas.com/v2/?p=496

    Saya di Malaysia sekitar 2 minggu lagi setelah itu pulang ke tanah air, sudah kangen sama Nadya dan Denaya.

    Sukses ya ….

  15. Jovie says:

    wow…keren banget nih jago matematika….

  16. Yusuf says:

    Alllow ….Selamat n sukses selalu!

    Aku baru aja baca blog mu ini setelah direkomendasikan oleh dosenku (http://www.ririsatria.net/)

    Ini dia yang aku cari, matematikanya yang nyantai n asyik.

    keep the good work!

  17. tanahsirah says:

    Aduh bingung dech lihat bilngan2 kek gitu.

  18. rudi says:

    bner…jadi inget cara buktiin akar dua tu bilangan irasional.dulu lupa.

  19. vlisa says:

    Aku jadi ingat masa sekolah yang sudah puluhan tahun kutinggalkan….salam.

  20. Dino says:

    Aku bingung setelah b diganti k..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s