Hubungan bilangan Prima dan irasional

Posted on October 18, 2008 by Nursatria

tadinya saya mau posting pembuktian \pi bilangan irasional, tapi ternyata pembuktinnya cukup rumit (saya aja ngerasa rumit apalagi kalian[sombong mode on] 😈 ) dan saya belum paham 100% oleh karna itu lebih baik saya  membahas hubungan bilangan prima dan irasional.

Bagaimana hubungannya? baik-baik saja haha.. 😀

just kidding..

Okey, kita semua pasti udah tau lah apa itu bilangan prima dan bilangan rasional mmm..saya yakin sebagaian besar dari kalian tahu apa itu bilangan irasioanal, buat yang belum tau bilangan irasional adalah bilangan bukan hasil dari pembagian 2 buah bilanngan bulat contoh bilangan irasional adalah

\pi, e, \sqrt{2}

Nah..sekarang apakah kalian tahu bahwa SEMUA bilangan prima kalo di akar-kan hasilnya adalah bilangan irasional?

Dengan kata lain \sqrt{p} adalah bilangan irasional, untuk p bilangan prima.

Bukti:

Utuk \sqrt{2} udah pernah saya buktikan disini

Biasanya untuk pembuktian bilangan irasional digunakan metode reductio de absurdum, yaitu diasumsikan sebaliknya dan dibuktikan bahwa asumsi tersebut salah

Diberikan p bilangan prima p\neq2

Diasumsilkan \sqrt{p} bilangan rasional artinya \sqrt{p}=a/b untuk a dan b bilangan bulat positif yang relatif prima (artinya fpb a dan b adalah 1), diperoleh

\sqrt{p}=a/b (1)

\sqrt{p}b=a (2)

pb^{2}=a^{2} (3)

b^{2}=a^{2}/p (4)

b^{2}=(\frac{a}{p})a (5)

Jadi p membagi a misalkan x=\frac{a}{p} maka a=xp lalu kita subtitusikan a=xp ke persamaan (3) diperoleh

pb^{2}=(xp)^{2}

pb^{2}=x^{2}p^{2}

b^{2}=x^{2}p

\frac{b^{2}}{p}=x^{2}

b(\frac{b}{p})=x^{2}

Jadi p juga membagi b, padahal menurut asumsi a dan b adalah relatif prima fpb-nya 1. terjadi kontradiksi dengan asumsi

oleh karena itu

\sqrt{p} adalah bilangan irasional

Quod Erat Demonstrandum

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in irasional, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Hubungan bilangan Prima dan irasional

  1. Lu'lu Yu'tikan Nabilah says:
    September 24, 2014 at 12:01

    Terimakasih 🙂

    Reply
  3. zonnalobo says:
    September 19, 2013 at 20:57

    jika p membagi a maka p membagi a^2. Tetapi sebalikx belum tentu berlaku kan??
    Dan seandainya berlaku sperti yg anda katakan maka, bagaimana dgn yg p bukan prima, contohnya akar(14)?

    Reply
  4. zonnalobo says:
    September 19, 2013 at 07:43

    Maaf, maksudx p bukan p^2

    Reply
  5. zonnalobo says:
    September 19, 2013 at 03:10

    p^2 membagi a^2, tapi p belum tentu membagi a kan??

    Reply
  6. samsul arifin says:
    September 27, 2009 at 08:17

    metode di atas yang sering disebut dengan “metode pengandaian” kan ya? yang intinya nanti, diharapkan diperoleh kontradiksi sehingga diperoleh kesimpulan bahwa pengandaiannya yang salah sehingga seharusnya adalah pernyataan sebaliknya.

    * kalimatku mbulet-mbulet ga sih? *

    Reply
  7. muzaki says:
    August 18, 2009 at 23:00

    makasih banyak ya.. cara ini berlaku umum..

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s