Asal usul rumus abc (cara lain)

Posted on October 21, 2008 by Nursatria

Yang saya maksud dengan rumus abc adalah

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2-4ac}}}{2a}$

Yaitu rumus untuk mencari persamaan kuadrat

$0=ax^{2}+bx+c$

Kenapa saya kasih judul ” asal usul rumus abc (cara lain)” karena Al Jupri pernah menulis asal-asal rumus abc. Nah saya akan menulis hal yang sama tapi dengan cara / metode yang berbeda kalo Al Jupri menggunakan cara menurunkan persamaan kudrat untuk mendapat rumus abc, kalo saya akan menggunakan integral hehe..

Okey, let’s begin

Ambil fungsi

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

Kita ingin mencari solusi untuk $f(x)=0$ . Bisa kita lihat bahwa $f(0)=a0^{2}+b0+c=c$

kita turunkan $f(x)$ diperoleh

$f'(x)=2ax+b$

Maka kita punya

$f(x)=c+\int_0^x 2at+b\; dt$

Sekarang kita ganti variable menjadi $w=2at+b$ , $dw=2a\;dt$ diperoleh

$c+\int_b^{2ax+b}\frac1{2a}\;w\;dw$

Kita opersikan integralnya dipeoleh

$c+\left(\frac1{4a}(2ax+b)^2 -\frac{b^2}{4a}\right)$

maka akar $f(x)=0$ bisa dicari dengan memecahkan persamaan

$c+\frac{(2ax+b)^2 - b^2}{4a}=0$

Kita peroleh

$(2ax+b)^2-b^2=-4ac$

$(2ax+b)^2=-4ac-b^2$

$2ax+b =\pm\sqrt{b^2 - 4ac}$

Dan akhirnya diperoleh

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Viola we got abc formula

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

This entry was posted in kalkulus and tagged abc, formula, matematika, Math, persamaan kuadrat. Bookmark the permalink.

51 Responses to Asal usul rumus abc (cara lain)

hermanto says:

September 28, 2009 at 17:15

mas q hermanto q mau tanya knpa ya q kok g bisa matematika padahal q pengen banget bisa matematika

Reply
- Aria Turns says:
  
  October 11, 2009 at 22:40
  
  Just keep learn dude…
  
  Reply
arifah says:

September 22, 2009 at 19:50

mas saya maw tanya kalo asal mula rumus pers kuadrat ini gmana
X1 + X2 = -b/a
Xi . X2 = c/a
bantuin saya dunk mas….
nich email saya ri_f44@yahoo.com

Reply
- Aria Turns says:
  
  September 23, 2009 at 15:48
  
  wduh kurang tahu tuch
  
  Reply
  - Sopandi Ahmad says:
    
    December 29, 2009 at 00:30
    
    Pura-pura tidak tahu niy.
    Saya suka postingan Bapak. Matematika tingkat tinggi gitu lho! 🙂
    
    Reply
  - Eran kyas says:
    
    December 30, 2009 at 01:06
    
    Setuju opan..
    Sangat membuka wawasan..
    😀
    
    Reply
- Zanra_GTG says:
  
  December 29, 2009 at 20:52
  
  kita ketahui bahwa
  x1,x2 = -b ± sqr(b² -4ac) / 2a
  
  b² – 4ac = D
  
  jadi x1 = -b + sqr(D)/2a ; x2 = -b – sqr(D)/2a
  
  jadi x1+x2 = (-b + Sqr(D) – b – SQR(D)) / 2a
  = -2b/2a = -b/a
  jadi x1 + x2 = -b/a
  
  jadi x1-x2 = (-b + Sqr(D) -(- b – SQR(D))) / 2a
  = 2sqr(D)/2a = sqr(D)/a
  jadi x1 – x2 = sr(D)/a
  
  x1*x2 = (-b + sqr(D)/2a) (-b – sqr(D)/2a)
  = (-b + sqr(D) ) (-b – sqr (D) ) /4a²
  = b² – D / 4a²
  = b² – ( b² – 4ac)
  = 4ac / 4a²
  = c/a
  jadi x1*x2 = c/a
  
  tapi saya mau tanya nich
  
  rumus : nb² = (n+1)² ac
  dimana n = x1/x2
  
  tolong dunk pembuktiannya,, ane binun gak ktemu”,,,
  truz klo dimasukkan n = 1
  
  maka b² = 2²ac
  b² – 4ac = 0
  kira” apa yach hubungannya x1/x2 sama D ini
  
  Reply
  - Aria Turns says:
    
    December 30, 2009 at 08:47
    
    petunjukknya nya kamu ambil
    $n=\frac{b^{2}-2b\sqrt{D}+D}{4ac}$
    dengan $D=b^{2}-4ac$
    itu diperoleh dari penjabaran $n=x_{1}/x_{2}$
    dengan $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}$ dan $x_{2}=x_{1}=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}$ $
    Saya uadh kasih petunjuk, coba km buktikan sendiri yach…
    
    Reply
  - Zanra_GTG says:
    
    January 1, 2010 at 02:20
    
    maksud saya begini mas,,,
    
    nb^2 = (n+1)^2 ac ; n =x1/x2
    
    kita mengaggap kita tak pernah mengetahui rumus di atas, terus dengan utak-atik rumus dasar, bagaimana cara kita menemukan rumus di atas,,, klo dari solusi yang mas berikan,,, maka kita ketahui nilai n, dan nilai n dimasukkan ke ruas kiri dan kanan, yach jelas dunkz memiliki hasil yang sama
    
    yang saya ingin tanyakan, seumpama rumus nb^2 = (n+1)^2 belum kita ketahui…!!
    
    Reply
rajaoktovin says:

August 20, 2009 at 09:50

Hmm… halo..
baru keliling ni.. 😛
untuk polinomnya mbak lilia, gak bisa di-horner.
kalau horner kan kita liat konstantanya… misalnya x^3+x-8=0, nah kita liat bahwa konstannya -8, jadi kalo pake horner, paling kita ngecek -8,8,1,-1,2,-2,4,-4, ..
ya, ini baru ngecek akar-akar bulatnya aja… maksudnya, kenapa gak kita cek $\sqrt{2}$ ? 😀
nah, polinom mbak lilia itu bagus, palindrom, maksudnya simetri kiri kanan, jadi bisa diselesaikan kayak gini.
Bagi dengan $x^2$ , maka
$x^2+x+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$
kita kumpulin yang beginian
$x^2+\dfrac{1}{x^2}+x+\dfrac{1}{x}+1=0$
perhatikan bahwa
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2$ (kalo gak percaya, buka aja)
maka kita punyai persamaan mbak lilia jadi begini…
$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+1=0$
ehmmm… misalkan aja $x+\dfrac{1}{x}=a$ , maka kita punyai
$a^2-2+a+1=0$
$a^2+a-1=0$
yaitu persamaan bin gung, bisa diselesain pake abc,,,
hmmm… btw, all, ramein blog aku juga dong. 😛 sepi banget ne…

Reply
- Hendra Jaya says:
  
  September 22, 2010 at 14:51
  
  Haha.. barusan pengen coba jawab yang itu juga. Pas scroll ke bawah ada RO. Jadinya ga pede :p
  
  Reply
andy says:

May 30, 2009 at 10:04

mas kalo peraga yang buat persamaan kuadrat apa ya????

Reply
- Aria Turns says:
  
  May 30, 2009 at 18:48
  
  waduh..maaf saya kurang tahu
  
  Reply
Je_rico says:

February 13, 2009 at 12:05

di copy maksud saya mas hehe..

Reply
Je_rico says:

February 13, 2009 at 11:44

sayang text nya ga bisa di coy paste…

Reply
rini says:

January 19, 2009 at 07:58

itu dipelajari di buku matematika SMA kelas 11 (2SMA) semester 2 ini…
coba aja dicari

Reply
adit38 says:

December 2, 2008 at 21:16

Metode horner tuh metode sintetik mas rio.
Ntar kalo dah online di komputer coba sy tampilkan deh

Reply
rio says:

December 2, 2008 at 16:30

Sorry, metode horner itu apa ya? koq seumur2 aku dengar. Kalo metode corner apa yang sepak pojok jitu yah? bagi2 dong ilmunya.

Reply
adit38 says:

December 1, 2008 at 21:13

@afasmt
maaf sy ga paham beberapa kata bahasa inggris disana.

Reply
adit38 says:

December 1, 2008 at 21:01

Mbak lilia, utk mencari akar polinom pake metode horner/sintetik saja. Di buku sma rasanya ada, mas rio mungkin lbh tau bku kelas berapa persisnya.
Tp sebelumnya dicek dulu perkiraan jenis akarnya.
Tp nampaknya polinom diatas tdk punya akar real.

Reply
rio says:

December 1, 2008 at 10:15

yakin deh tetet kagak bisa, pertanyaan sebelumnya aja banyak belun kejawab, terus posting baru lagi…inilah yang bikin aku malu jadi alumni math ugm

Reply
Lilia says:

December 1, 2008 at 00:52

Dik… boleh dong minta bantuannya?
Bagaimana yah menyelesaikan persamaan aljabar ini…
x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1

Tolong yah… email aku, aidia@ymail.com
Terima kasih…

Reply
Aria Turns says:

November 17, 2008 at 14:50

tantangan yang mana ya Pak? pembuktian identitas phytagoras tanpa memakai difinisi sinus dan cosinus?
Itu yang bapak maksud?

Reply
Aria Turns says:

November 16, 2008 at 20:55

haha enggak kok, cara itu juga saya nemu di internet 🙂

Reply
Aria Turns says:

October 30, 2008 at 16:45

tinggal masukin aja ke rumus..
ngerti kan?

Reply
bin gung says:

October 30, 2008 at 08:19

kalo persamaan kek gini gimana nyelesaiinnya..?

x2 + x – 1 = 0

berapa nilai x..?

x2 => maksudnya x kuadrat

Reply
hendry says:

October 21, 2008 at 20:49

Parah….

Aku akui kejeniusan dikau…. Hahahah

Reply
Aria Turns says:

October 21, 2008 at 20:13

oya..sama-sama

Reply
mathematicse says:

October 21, 2008 at 14:17

Menarik, mas! Saya jadi tahu nih cara lainnya…. 😀 Makasih atas infonya.

Reply