Asal usul rumus abc (cara lain)

Yang saya maksud dengan rumus abc adalah

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2-4ac}}}{2a}

Yaitu rumus untuk mencari persamaan kuadrat

0=ax^{2}+bx+c

Kenapa saya kasih judul ” asal usul rumus abc (cara lain)” karena Al Jupri pernah menulis asal-asal rumus abc. Nah saya akan menulis hal yang sama tapi dengan cara / metode yang berbeda kalo Al Jupri menggunakan cara menurunkan  persamaan kudrat untuk mendapat rumus abc, kalo saya akan menggunakan integral hehe..  :mrgreen:

Okey, let’s begin

Ambil fungsi

f(x)=ax^{2}+bx+c

Kita ingin mencari solusi untuk f(x)=0. Bisa kita lihat bahwa f(0)=a0^{2}+b0+c=c

kita turunkan f(x) diperoleh

f'(x)=2ax+b

Maka kita punya

f(x)=c+\int_0^x 2at+b\; dt

Sekarang kita ganti variable menjadi w=2at+b, dw=2a\;dt diperoleh

c+\int_b^{2ax+b}\frac1{2a}\;w\;dw

Kita opersikan integralnya dipeoleh

c+\left(\frac1{4a}(2ax+b)^2 -\frac{b^2}{4a}\right)

maka akar f(x)=0 bisa dicari dengan memecahkan persamaan

c+\frac{(2ax+b)^2 - b^2}{4a}=0

Kita peroleh

(2ax+b)^2-b^2=-4ac

(2ax+b)^2=-4ac-b^2

2ax+b =\pm\sqrt{b^2 - 4ac}

Dan akhirnya diperoleh

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Viola we got abc formula

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

51 Responses to Asal usul rumus abc (cara lain)

  1. hermanto says:

    mas q hermanto q mau tanya knpa ya q kok g bisa matematika padahal q pengen banget bisa matematika

  2. arifah says:

    mas saya maw tanya kalo asal mula rumus pers kuadrat ini gmana
    X1 + X2 = -b/a
    Xi . X2 = c/a
    bantuin saya dunk mas….
    nich email saya ri_f44@yahoo.com

    • Aria Turns says:

      wduh kurang tahu tuch

    • Zanra_GTG says:

      kita ketahui bahwa
      x1,x2 = -b ± sqr(b² -4ac) / 2a

      b² – 4ac = D

      jadi x1 = -b + sqr(D)/2a ; x2 = -b – sqr(D)/2a

      jadi x1+x2 = (-b + Sqr(D) – b – SQR(D)) / 2a
      = -2b/2a = -b/a
      jadi x1 + x2 = -b/a

      jadi x1-x2 = (-b + Sqr(D) -(- b – SQR(D))) / 2a
      = 2sqr(D)/2a = sqr(D)/a
      jadi x1 – x2 = sr(D)/a

      x1*x2 = (-b + sqr(D)/2a) (-b – sqr(D)/2a)
      = (-b + sqr(D) ) (-b – sqr (D) ) /4a²
      = b² – D / 4a²
      = b² – ( b² – 4ac)
      = 4ac / 4a²
      = c/a
      jadi x1*x2 = c/a

      tapi saya mau tanya nich

      rumus : nb² = (n+1)² ac
      dimana n = x1/x2

      tolong dunk pembuktiannya,, ane binun gak ktemu”,,,
      truz klo dimasukkan n = 1

      maka b² = 2²ac
      b² – 4ac = 0
      kira” apa yach hubungannya x1/x2 sama D ini

      • Aria Turns says:

        petunjukknya nya kamu ambil
        {\displaystyle n=\frac{b^{2}-2b\sqrt{D}+D}{4ac}}
        dengan D=b^{2}-4ac
        itu diperoleh dari penjabaran n=x_{1}/x_{2}
        dengan x_{1}=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a} dan x_{2}=x_{1}=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}$
        Saya uadh kasih petunjuk, coba km buktikan sendiri yach…

      • Zanra_GTG says:

        maksud saya begini mas,,,

        nb^2 = (n+1)^2 ac ; n =x1/x2

        kita mengaggap kita tak pernah mengetahui rumus di atas, terus dengan utak-atik rumus dasar, bagaimana cara kita menemukan rumus di atas,,, klo dari solusi yang mas berikan,,, maka kita ketahui nilai n, dan nilai n dimasukkan ke ruas kiri dan kanan, yach jelas dunkz memiliki hasil yang sama

        yang saya ingin tanyakan, seumpama rumus nb^2 = (n+1)^2 belum kita ketahui…!!

  3. rajaoktovin says:

    Hmm… halo..
    baru keliling ni.. 😛
    untuk polinomnya mbak lilia, gak bisa di-horner.
    kalau horner kan kita liat konstantanya… misalnya x^3+x-8=0, nah kita liat bahwa konstannya -8, jadi kalo pake horner, paling kita ngecek -8,8,1,-1,2,-2,4,-4, ..
    ya, ini baru ngecek akar-akar bulatnya aja… maksudnya, kenapa gak kita cek \sqrt{2}? 😀
    nah, polinom mbak lilia itu bagus, palindrom, maksudnya simetri kiri kanan, jadi bisa diselesaikan kayak gini.
    Bagi dengan x^2, maka
    x^2+x+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0
    kita kumpulin yang beginian
    x^2+\dfrac{1}{x^2}+x+\dfrac{1}{x}+1=0
    perhatikan bahwa
    x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2 (kalo gak percaya, buka aja)
    maka kita punyai persamaan mbak lilia jadi begini…
    \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+1=0
    ehmmm… misalkan aja x+\dfrac{1}{x}=a, maka kita punyai
    a^2-2+a+1=0
    a^2+a-1=0
    yaitu persamaan bin gung, bisa diselesain pake abc,,,
    hmmm… btw, all, ramein blog aku juga dong. 😛 sepi banget ne…

  4. andy says:

    mas kalo peraga yang buat persamaan kuadrat apa ya????

  5. Je_rico says:

    di copy maksud saya mas hehe..

  6. Je_rico says:

    sayang text nya ga bisa di coy paste…

  7. rini says:

    itu dipelajari di buku matematika SMA kelas 11 (2SMA) semester 2 ini…
    coba aja dicari

  8. adit38 says:

    Metode horner tuh metode sintetik mas rio.
    Ntar kalo dah online di komputer coba sy tampilkan deh

  9. rio says:

    Sorry, metode horner itu apa ya? koq seumur2 aku dengar. Kalo metode corner apa yang sepak pojok jitu yah? bagi2 dong ilmunya.

  10. adit38 says:

    @afasmt
    maaf sy ga paham beberapa kata bahasa inggris disana.

  11. adit38 says:

    Mbak lilia, utk mencari akar polinom pake metode horner/sintetik saja. Di buku sma rasanya ada, mas rio mungkin lbh tau bku kelas berapa persisnya.
    Tp sebelumnya dicek dulu perkiraan jenis akarnya.
    Tp nampaknya polinom diatas tdk punya akar real.

  12. rio says:

    yakin deh tetet kagak bisa, pertanyaan sebelumnya aja banyak belun kejawab, terus posting baru lagi…inilah yang bikin aku malu jadi alumni math ugm

  13. Lilia says:

    Dik… boleh dong minta bantuannya?
    Bagaimana yah menyelesaikan persamaan aljabar ini…
    x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1

    Tolong yah… email aku, aidia@ymail.com
    Terima kasih…

  14. Aria Turns says:

    tantangan yang mana ya Pak? pembuktian identitas phytagoras tanpa memakai difinisi sinus dan cosinus?
    Itu yang bapak maksud?

  15. Aria Turns says:

    haha enggak kok, cara itu juga saya nemu di internet 🙂

  16. Aria Turns says:

    tinggal masukin aja ke rumus..
    ngerti kan?

  17. bin gung says:

    kalo persamaan kek gini gimana nyelesaiinnya..?

    x2 + x – 1 = 0

    berapa nilai x..?

    x2 => maksudnya x kuadrat

  18. hendry says:

    Parah….

    Aku akui kejeniusan dikau…. Hahahah

  19. mathematicse says:

    Menarik, mas! Saya jadi tahu nih cara lainnya…. 😀 Makasih atas infonya.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s