Barisan sinus dan cosinus

Posted on October 21, 2008 by Nursatria

Misalkan kita punya barisan sinus

S(n)=Sin(1)+Sin(2)+Sin(3)+Sin(4)+....+Sin(n)

S(n)=\sum_{i=0}^nSin(n)

dan barisan cosinus

C(n)=Cos(1)+Cos(2)+Cos(3)+Cos(4)+....+Cos(n)

C(n)=\sum_{i=0}^nCos(n)

Pertanyannya untuk n sebarang berapa hasil dari barisan sinus dan cosinus tersebut?

Untuk menjawabnya kita menggunakan persamaan euler

Cos(\theta)+i\bullet Sin(\theta)=e^{i\theta}

Buat yang gak tau persamaan euler, silahkan baca persamaan matematika yang paling cantik, saya menjelaskan cukup detai mengenai persamaan euler

Kita peroleh

C(n)+i\bullet S(n)=\sum_{i=0}^{n}e^{in}

perhatikan

\sum_{i=0}^{n}e^{i(n)}=e^{i(0)}+e^{i1}+e^{i(2)}+\cdots+^{i(n)}

dengan menggunakan rumus penjumlahan deret geometri diperoleh

\sum_{i=0}^{n}e^{i(n)}=\frac{(e^{i(n+1)})-1}{e^{i}-1}

Dengan e^{i}=Cos(1)+i\bullet Sin(1) dan e^{i(n+1)}=Cos(n+1)+i\bullet Sin(n+1) diperoleh

{\displaystyle \sum_{i=0}^{n}e^{i(n)}=\frac{Cos(n+1)-1+i\bullet Sin(n+1)}{Cos(1)-1+i\bullet Sin(1)}}

Sekarang perhatikan bentuk

{\displaystyle \frac{Cos(n+1)-1+i\bullet Sin(n+1)}{Cos(1)-1+i\bullet Sin(1)}}

Akan dihilangkan bagian imajiner pada penyebut

{\displaystyle \frac{Cos(n+1)-1+i\bullet Sin(n+1)}{Cos(1)-1+i\bullet Sin(1)}\bullet\frac{Cos(1)-1-i\bullet Sin(1)}{Cos(1)-1-i\bullet Sin(1)}}

Diperoleh

\frac{Cos(n+1)Cos(1)-1+Sin(1)Sin(n+1)+i\bullet(cos(n+1)Sin(n+1)-Cos(n+1)Sin(1)}{2\bullet(1-Cos(1))}

\frac{Cos(n+1)Cos(1)-1+Sin(1)Sin(n+1)}{2\bullet(1-Cos(1))}+i\bullet\frac{(cos(n+1)Sin(n+1)-Cos(n+1)Sin(1)}{2\bullet(1-Cos(1))}

Sekarang kita peroleh

{\displaystyle C(n)=\frac{Cos(n+1)Cos(1)-1+Sin(1)Sin(n+1)}{2\bullet(1-Cos(1))}}

{\displaystyle S(n)=\frac{Cos(n+1)Sin(n+1)-Cos(n+1)Sin(1)}{2\bullet(1-Cos(1))}}

Kita tahu bahwa Cos(a+b) = Cos(a)Cos(b) – Sin(a)Sin(b), dan Sin(a+b) = Sin(a)Cos(b) + Sin(b)Cos(a) maka bisa kita sederhanakan menjadi

{\displaystyle \sum_{i=0}^nCos(n)=\frac{Cos(\frac{n}{2})*Sin(\frac{n+1}{2})}{Sin(1/2)}}

{\displaystyle \sum_{i=0}^nSin(n)=\frac{Sin(\frac{n}{2})*Sin(\frac{n+1}{2})}{Sin(1/2)}}

Seinget saya ini adalah soal olimpiade tapi lupa tahun berapa

Bagaimana apakah anda pusing? :mrgreen:

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Barisan sinus dan cosinus

  1. mukhlas says:
    October 23, 2010 at 08:55

    mas mau nanya..
    gimana cara menentukan hasil dari sinus, cosinus dst..
    tapi yang ukan sudut istimewa?
    ex:
    sin 66

    Reply
  2. Zhy says:
    November 14, 2008 at 08:37

    Mas,mau tanya…
    Gimana siy cara gampang belajar matematika?
    Gimana cara asyik belajar matematika?
    Metode belajar seperti apa yang enak untuk belajar matematika?
    Hal-hal apa yang bisa bikin orang jadi suka belajar matematika?
    Tolong dijawab ya…
    Thx be4…

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s