Barisan sinus dan cosinus

Misalkan kita punya barisan sinus

S(n)=Sin(1)+Sin(2)+Sin(3)+Sin(4)+....+Sin(n)

S(n)=\sum_{i=0}^nSin(n)

dan barisan cosinus

C(n)=Cos(1)+Cos(2)+Cos(3)+Cos(4)+....+Cos(n)

C(n)=\sum_{i=0}^nCos(n)

Pertanyannya untuk n sebarang berapa hasil dari barisan sinus dan cosinus tersebut?

Untuk menjawabnya kita menggunakan persamaan euler

Cos(\theta)+i\bullet Sin(\theta)=e^{i\theta}

Buat yang gak tau persamaan euler, silahkan baca persamaan matematika yang paling cantik, saya menjelaskan cukup detai mengenai persamaan euler

Kita peroleh

C(n)+i\bullet S(n)=\sum_{i=0}^{n}e^{in}

perhatikan

\sum_{i=0}^{n}e^{i(n)}=e^{i(0)}+e^{i1}+e^{i(2)}+\cdots+^{i(n)}

dengan menggunakan rumus penjumlahan deret geometri diperoleh

\sum_{i=0}^{n}e^{i(n)}=\frac{(e^{i(n+1)})-1}{e^{i}-1}

Dengan e^{i}=Cos(1)+i\bullet Sin(1) dan e^{i(n+1)}=Cos(n+1)+i\bullet Sin(n+1) diperoleh

{\displaystyle \sum_{i=0}^{n}e^{i(n)}=\frac{Cos(n+1)-1+i\bullet Sin(n+1)}{Cos(1)-1+i\bullet Sin(1)}}

Sekarang perhatikan bentuk

{\displaystyle \frac{Cos(n+1)-1+i\bullet Sin(n+1)}{Cos(1)-1+i\bullet Sin(1)}}

Akan dihilangkan bagian imajiner pada penyebut

{\displaystyle \frac{Cos(n+1)-1+i\bullet Sin(n+1)}{Cos(1)-1+i\bullet Sin(1)}\bullet\frac{Cos(1)-1-i\bullet Sin(1)}{Cos(1)-1-i\bullet Sin(1)}}

Diperoleh

\frac{Cos(n+1)Cos(1)-1+Sin(1)Sin(n+1)+i\bullet(cos(n+1)Sin(n+1)-Cos(n+1)Sin(1)}{2\bullet(1-Cos(1))}

\frac{Cos(n+1)Cos(1)-1+Sin(1)Sin(n+1)}{2\bullet(1-Cos(1))}+i\bullet\frac{(cos(n+1)Sin(n+1)-Cos(n+1)Sin(1)}{2\bullet(1-Cos(1))}

Sekarang kita peroleh

{\displaystyle C(n)=\frac{Cos(n+1)Cos(1)-1+Sin(1)Sin(n+1)}{2\bullet(1-Cos(1))}}

{\displaystyle S(n)=\frac{Cos(n+1)Sin(n+1)-Cos(n+1)Sin(1)}{2\bullet(1-Cos(1))}}

Kita tahu bahwa Cos(a+b) = Cos(a)Cos(b) – Sin(a)Sin(b), dan Sin(a+b) = Sin(a)Cos(b) + Sin(b)Cos(a) maka bisa kita sederhanakan menjadi

{\displaystyle \sum_{i=0}^nCos(n)=\frac{Cos(\frac{n}{2})*Sin(\frac{n+1}{2})}{Sin(1/2)}}

{\displaystyle \sum_{i=0}^nSin(n)=\frac{Sin(\frac{n}{2})*Sin(\frac{n+1}{2})}{Sin(1/2)}}

Seinget saya ini adalah soal olimpiade tapi lupa tahun berapa

Bagaimana apakah anda pusing? :mrgreen:

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Barisan sinus dan cosinus

  1. mukhlas says:

    mas mau nanya..
    gimana cara menentukan hasil dari sinus, cosinus dst..
    tapi yang ukan sudut istimewa?
    ex:
    sin 66

  2. Zhy says:

    Mas,mau tanya…
    Gimana siy cara gampang belajar matematika?
    Gimana cara asyik belajar matematika?
    Metode belajar seperti apa yang enak untuk belajar matematika?
    Hal-hal apa yang bisa bikin orang jadi suka belajar matematika?
    Tolong dijawab ya…
    Thx be4…

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s