Himpunan-himpunan diruang metrik dan sifat-sifatnya

Diberikan ruang metrik $(X,d)$ dan himpunan $A\subset X$

1) Himpunan A dikataka terbuka (open) jika setiap anggotanya titik dalam

2) Himpunan A dikatakan tertutup (closed) jika $A^{c}$ terbuka

3) $A^{0}=int(A)$ menotasikan koleksi semua titik dalam himpunan A disebut interior A

2) $ext(A)$ menotasikan koleksi semua titik-titik luar himpunn A disenut ekterior A

3) $\partial(A)$ menotasikan koleksi semua titik batas himpunan A

4) $A'$ menotasikan koleksi semua titik limit himpunan A disebut himpunan terturun A

5) $\bar{A}=A\cup A'$

5) $cl(A)$ didefinisikan sebagai himpunan tertutup terkecil yang memuat A disebut klosur himpunan A

Sifat-sifat

Teorema 1. Setiap persekitaran di ruang metrik adalah himpunan terbuka

Bukti: Diberikan suatu ruang metrik $(x,d)$ . Diambil sebarang $a\in X$ dan bilangan real $r>0$ . Akan dibuktikan $N_{r}(a)$ terbuka, diambil sebarang $p\in N_{r}(a)$ , jadi $d(p,a)<r$ selanjutnya diambil bilangan $\rho$ dengan

$\rho=\frac{1}{2}min\{d(p,a),r-d(p,a)\}$

jadi $\rho>o$ dan untuk sebarang $y\in N_{\rho}(p)$ berlaku

$d(a,y)\leq d(a,p)+d(p,y)<d(a,p)+\rho<r$

yang berarti $y\in N_{r}(a)$ , dengan kata lain terbukti bahwa $N_{\rho}(p)\subset N_{r}(a)$ atau terpukti $p$ titik dalam himpunan $N_{r}(a)$ jadi terbukti $N_{r}(a)$ adalah himpunan terbuka

QED

Teorema 2. Untuk setiap himpunan A di ruamh metrik berlaku

i) $A-\partial(A)$ terbuka

ii) $A\cup\partial(A)$ tertutup

Bukti: Untuk membuktikan teorema digunakan sifat

$\partial(A)=\partial(A^{c})$

i) Ambil $x\in(A-\partial(A)$ yang artinya $x\in A$ dan $x\notin\partial(A)$ . Jika $x\notin\partial(A)$ berarti $N_{r}(x)\cap A=\emptyset$ atau $N_{r}(x)\cap A^{c}=\emptyset$ untuk $r>0$ . Karena $x\in A$ maka diperoleh $N_{r}(x)\cap A\neq\emptyset$ dan $N_{r}(x)\cap A^{c}=\emptyset$ sehingga $N_{r}(x)\subset A$ . Dengan kata lain terbukti $A-\partial(A)$ terbuka

ii) Untuk membuktikan $A\cup\partial(A)$ tertutup ekuivalen denagan membuktikan $(A\cup\partial(A))^{c}$ .

$(A\cup\partial(A))^{c}=(A\cup\partial(A^{c}))^{c}$

$A^{c}\cap(\partial(A^{c}))^{c}=A^{c}-\partial(A^{c})$

Menurut i) $A^{c}-\partial(A^{c})$ terbuka

QED

Teorema 3. Jika A sebarang himpunan di ruang metrik maka $\bar{A}=A\cup A'$ tertututup

Bukti: Akan dibuktikan $\bar{A}^{c}=(A\cup A')^{c}=(A^{c}\cap(A')^{c})=A^{c}-A'$ terbuka.

Ambil $x\in(A^{c}-A')$ artinya $x\in A^{c}$ dan $x\notin A^{'}$ . Jika $x\notin A^{'}$ berarti $N_{r}(x)\cap A-\{x)=\emptyset$ untuk suatu $r>0$ . Jadi $N_{r}(x)\subset A^{c}$ . Dengan kata lain terbukti $A^{c}-A'$ terbuka atau $\bar{A}=A\cup A'$ tertututup

QED

Catetan: Dibuat untuk menghadapi Midterm Pengantar Analisis Abstrak senin 27 oktober jam 13.00 runag S2.01

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

4 Responses to Himpunan-himpunan diruang metrik dan sifat-sifatnya

Damar says:

July 7, 2013 at 20:30

keep up your good work!!

adit38 says:

November 17, 2008 at 00:00

Kok ga dikasi warning kaya tulisan di https://ariaturns.wordpress.com/category/aljabar-abstrak/

Warning: kalian harus mengetahui istilah titik dalam jika ingin membaca tulisan dibawah

Hehehe….
Just kidding

Dian says:

November 10, 2008 at 15:30

Fuiiii…. dijamin A tu… analisis real nya hehehehehhe

luftix says:

October 25, 2008 at 11:09

wehh, mantap bener blog lu tet bahas matematika….eh, gw lagi nyiapin http://www.netluftix.com, blog gw ntar disindikasi ke sana, tapi blum jadi hehe ….

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…
	Maya W on Pembuktian satu kali satu sama…