Teorema kecil Fermat

Sudah beberapa hari terakhir search engine ngirim visitor ke blog ini dengan keyword “teorema kecil Fermat”. Padahal gak ada postingan di blog ini mengenai teorema tersibut. Oleh Karna itu saya akan menulis mengenai teorema kecil Fermat. Teorema tersebut berkata

Untuk setiap $a$ bilangan bulat dan $p$ prima maka $a^{p}-a$ habis dibagi oleh $p$

Contoh

$a=3$ dan $p=7$ maka $3^7-3=2187-3=2184$ dan bisa kita lihat $2184/7=312$

Denga kata lain teorema tersebut mengatakan bahwa $a^p$ dibagi $p$ maka sisanya adalah $a$ atau bisa kita tulis dalam bentuk modular

$a^{p}\equiv a\,(mod\, p)$

Bukti

Ada beberapa metode dalam membuktikan teorema kecil fermat tapi saya akan mengunakan matematika induksi dan teorema binomial.

Sebelum membuktikan teorema tersebut saya ingin menunjukan $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}\,(mod\, p)$

Kenapa bisa begitu?

Inget teorema binomial mengatakan $(x+y)^{p}=\overset{p}{\underset{i=0}{\sum}}\left({p\atop i}\right)x^{p-i}y^{i}$

dan $\left({p\atop i}\right)=\frac{p!}{i!(p-i)!}$

jadi untuk $0<i<p$ diperoleh $\left({p\atop i}\right)\equiv0\,(mod\, p)$

Nah..balik lagi ke pembuktian teorema. Kita tahu bahwa $1^{p}\equiv1\,(mod\, P)$ adalah benar, selanjutnya diasumsikan benar untuk $k^{p}\equiv k\,(mod\, P)$ , untuk $k$ bilangan bulat positif selanjutnya akan dibuktikan benar untuk $k+1$

menurur teorema binomial yang telah kita bicarakan maka

$(k+1)^{p}\equiv k^{p}+1^{p}\,(mod\, p)$

adalah benar.

Bukti komplit

QED

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

6 Responses to Teorema kecil Fermat

Muhammad Zaini says:

March 21, 2015 at 19:32

Thanks

Restu Palayoga says:

December 26, 2013 at 20:53

mas aria, pembuktiannya untuk kesimpulannya masih belum saya mengerti. jika udah dapat persamaan untuk k+1
apa hubungannya ke fermat? tolong beri penjelasan sedikit. maap merepotkan.
thx.

- Aria Turns says:
  
  December 27, 2013 at 07:05
  
  Itu induksi matematika, jika kita sudah membuktikan berlaku k+1 maka bukti telah lengkap
  
annisa says:

May 31, 2009 at 21:27

mengapa jika kita mencari 2 angka terakhir dari bilangan 2 pangkat 1000 diminta menggunakan dalil kecil fermat sedangkan yang kita tahu bahwa dalil fermat hanya membicarakan tentang a angkat p kongruen a (mod p) dimana p adalah bil prima.sementara 1000 bukan bil prima.

- Aria Turns says:
  
  June 1, 2009 at 14:27
  
  Mmm..saya malah baru tau, 🙂
  Moohon maaf saya juga tidak tahu jawabannya, mungkin temen2 ada yang bisa menjawab?
  
medaliemas says:

March 29, 2009 at 20:52

Ada bukti yang menarik dengan interpretasi kombinatorika. Buktinya ada di Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_little_theorem#Proof_by_counting_bracelets

Teorema ini juga memiliki generalisasi yaitu Teorema Euler: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Hajirin on Review The God Delusion
	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …