Pembuktian aturan rantai

Posted on November 26, 2008 by Nursatria

Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi.

Contoh ambil fungsi f(x)=(x^{2}+2x+1)^{2} maka dengan menggunaka aturan rantai diperoleh turunannya adalah f(x)=2(x^{2}+2x+1)(2x+2)

Lihat betapa mudahnya hidup dengan aturan rantai.  😛

Nah..sekarang saya akan membuktian aturan tersebut

Diberikan fungsi f dan g dimana g terturun differentiable pada titik x dan f terturun differentiable pada titik y  dengan y=g(x) Kita akan menghitung turunan dari fungsi komposisi f(g(x)) ditik x, dengan kata lain kita mau menghitung

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(g(x+h)-f(g(x))}{h}}

Jawabannya merupakan bukti dari

{\displaystyle \frac{d(f\circ g)(x)}{dx}=(f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(x)g'(x)}

yang kita sebut sebagai aturan rantai chain rule

Diketahui g(x) terturun pada titik x artinya nilai g'(x) ada dan menurut definisi turunan diperoleh

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g'(x)=0}

Kita definisikan variabel v dimana

{\displaystyle v=\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g'(x)}

bisa kita lihat nilai v tergantung dari nilai h jika h\rightarrow0 maka v\rightarrow0

Dengan cara yang sama diketahui f(x) terturun dititik y=g(x), menurut definisi turunan diperoleh

{\displaystyle \underset{k\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(y+k)-f(k)}{k}=f'(y)}

{\displaystyle \underset{k\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(y+k)-f(k)}{k}-f'(y)=0}

Kita definisikan variabel w dimana

{\displaystyle w=\frac{f(y+k)-f(y)}{k}-f'(y)}

bisa kita lihat juga jika k\rightarrow0 maka w\rightarrow0

Dari definisi v dan w diperoleh

{\displaystyle g(x+h)=g(x)+[g'(x)+v]h}

{\displaystyle f(y+k)=f(y)+[f'(y)+w]k}

Dari persamaan diatas jika f(g(x+h)) diperoleh

{\displaystyle f(g(x+h))=f(g(x)+[g'(x)+v]h)}

Nah sekarang ambil k=[g'(x)+v]h dan y=g(x), jika h\rightarrow0 maka k\rightarrow0 diperoleh

f(y+k)=f(g(x))+[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]h

selanjutnya kita peroleh

{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\frac{f(g(x))+[f'(g(x))+w]\bullet[g(x)+v]h-f(g(x))}{h}}

{\displaystyle =\frac{[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]h}{h}}

{\displaystyle =[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]}

Sekarang kita siap menghitung turunan

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\underset{h\rightarrow0}{Lim}\,[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]}

{\displaystyle =(\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, f'(g(x))+\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, w)(\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, g'(x)+\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, v)}

karena h\rightarrow0 menyebabkan k\rightarrow0 yang berakibat v\rightarrow0 dan w\rightarrow0, diperoleh

=f'(g(x))g'(x)

Qed

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

26 Responses to Pembuktian aturan rantai

  1. Annisa Rizki Alifya says:
    May 26, 2014 at 05:52

    Jawaban dari f(x)=(cos x/1+sin x)^3 …
    mohon bantuannya

    Reply
  2. Arianto says:
    December 31, 2012 at 01:00

    bagaimana dengan soal yang lebih panjang pak…
    y = (4x + 7)^2 . (2x + 3), berapa turunannya,,

    Reply
  3. Dewi Ismiyatun Na'imah says:
    December 11, 2011 at 10:40

    Asalamualaikum, ….
    pak apakah benar pernyataan saya ini,( |x|^p)^1/p=x

    Reply
  4. Dewi Ismiyatun Na'imah says:
    December 11, 2011 at 10:32

    Asalamualaikum, ….
    Pak apakah benar pernyataan saya ini,( |x|^p)^1/p=|x. ….

    Syukron, Katsir, ….|

    Reply
  5. wahyu says:
    October 5, 2011 at 04:13

    keren…. oh iya, klo hubnungan nya dengan pemodelan bisa kan? yaitu bandul…. bingung pemakain nya…..

    Reply
  6. Ar N Bie says:
    June 20, 2011 at 08:08

    aq masih bingung bagaimana mencariny??? tolong kasih contoh dong….
    nie utk mata kuliah analisis real 2

    Reply
  7. cat says:
    November 6, 2010 at 12:20

    di sini ada artilel tentang matriks jacobian gak? kak?

    Reply
  8. cat says:
    November 2, 2010 at 19:41

    matriks ada fungsi turunan gak yach??

    Reply
  9. flamethrower says:
    April 10, 2010 at 11:53

    Hmmmm, di sekolah ada rumus

    y = u(x)^n

    y’ = n . u'(x) . [u(x)]^n-1

    kalo itu pembuktiannya gimana ya???

    Thanks 🙂

    Reply
  11. dwi says:
    December 19, 2009 at 15:36

    kag misalnya soalnya
    y= (sinx)2cos(x2)
    berlaku nggak kag aturan rantainya????

    Reply
  12. inayah says:
    October 20, 2009 at 05:04

    askum pak,,, Q msh blm th jelas tentang itu, ne Q kebagiaan dpt aturan rantai pd kelompok makalah Q, n yg Q bc tu ne klo pd dua variabel dz/dt= dz/dx.dx/dt+dz/dy.dy/dt klo itu pakah sama jg pembuktiannya? makacih

    Reply
  13. Nurfatimah says:
    May 30, 2009 at 13:05

    Assalamu alaikum. Bisa nggak kasih contoh soal dan cara penyelesaiannya tentang teorema turunan fungsi komposisi. Makasih

    Reply
  14. wini says:
    December 2, 2008 at 18:50

    halo,,salam kenal…
    kak,,lagi ngerjain skripsi ttg lapangan berurut ya???
    punya refrensinya ga???kayaknya keren tuh…
    sy jg mau skripsi ni,,tapi masih cari2 topik…
    mohon bantuannya….!!!thx
    balas ke alamat email sy juga boleh mas..thx

    Reply
  15. hendry says:
    November 29, 2008 at 16:37

    Hmm..
    Entah, mungkin waktu lain, aku akan lebih paham tentang hal ini.. 🙂

    Reply
  16. indy says:
    November 28, 2008 at 14:48

    mas tetet,,ni indy. mas jg suka matematika ya?? o y mas kemaren2 aku ngutip artikel knp ga da nobel mate dr blognya mas bwt tugas webna pa haikal. makasih ya mas. mav baru ksh tw skrg. o y uda indy mskn alamat blognya mas jg bwt daftar referensi di webqu!! ojo lali buka webqu ya mas!! http://www.tung-itung.co.cc
    thanqyu!!^^

    Reply
  17. Aria Turns says:
    November 27, 2008 at 23:15

    hen, sebenarnya kamu ngerti gak sich arti dari
    dy/dx = dy/du ● du/dv ● dv/dw ● dw/dx??
    Itu tururunan suatu fungsi.
    kalo ditulis dalam bentuk fungsi itu sama denaga
    f'(u(v(w(x))))=f'(x)u'(x)v'(x)w'(x)
    kenapa bisa begitu? itu yang saya bahas

    Reply
  18. hendry says:
    November 27, 2008 at 21:49

    Pembuktian di atas bukankah sama persis seperti kita membuktikan:

    3/4 = 3/6 ● 6/7 ● 7/8 ● 8/9 ● 9/4

    Tinggal dicoret…
    Bukankah begitu?

    Reply
  19. Aria Turns says:
    November 27, 2008 at 14:42

    Nah..justru itu yang kita buktikan kenapa
    dy/dx = dy/du ● du/dv ● dv/dw ● dw/dx

    Reply
  20. hendry says:
    November 27, 2008 at 14:19

    Keren pembuktiannya…

    Tapi, di kuliahku pembuktiannya seperti ini:

    dy/dx = dy/du ● du/dv ● dv/dw ● dw/dx
    Terbukti.

    Kalau begitu, betul atau salah?

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s