Pembuktian e bilangan irasional

Posted on December 12, 2008 by Nursatria

Saya sudah pernah menulis pembuktian pi bilangan irasional, nah kali ini saya akan membuktikan kalo e itu bilangan irasional. kita tahu e didefinisikan sebagai berikut

{\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}

Kita asumsikan e bilangan rasional artinya e=a/b untuk suatu a dan b bilangan bulat positif. yang berakibat b!e adalah bilangan bulat positif.

kita jabarkan b!e diperoleh

{\displaystyle b!e=b!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}

{\displaystyle {\displaystyle b!e=\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}+\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}}}

Dengan mudah kita ketahui sumation yang pertama {\displaystyle \sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}} hasilnya adalah bilangan bulat positif(kenapa bisa begitu? analisa sendiri ya ).

Karena {\displaystyle b!e} dan {\displaystyle \sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}} adalah bilangan bulat positif, maka haruslah {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}} adalah bilangan bulat positif

Nah..apakah {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}} bilangan bulat positifatau bukan?

mari kita jabarkan {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}}

{\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}=\frac{b!}{b+1!}+\frac{b!}{b+2!}\ldots}

{\displaystyle =\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)b+3)}+\ldots}

sekarang kita peroleh

{\displaystyle \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)\ldots}<\frac{1}{(b+1)(b+1)\ldots}}

(Ingat 0<a<b maka 0<1/b<1/a)

maka

{\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}<\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{b+1}\right)^{n}}

dengan menggunakan rumus penjumlahan deret geometris diperoleh

{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{b+1}\right)^{n}=\frac{1}{b}}

berakibat

{\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}<\frac{1}{b}}

karena 0<1/b\leq1 maka

{\displaystyle 0<\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}<1}

jadi {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}} bukan bilangan bulat positif. itu berarti asumsi kita salah maka terbukti e bilangan irasional

QED

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in irasional, kalkulus, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

15 Responses to Pembuktian e bilangan irasional

  1. hgunawan82 says:
    April 25, 2016 at 09:53

    Mantap! Tahu gitu saya ngga usah bikin blog lagi..karena blog anda sudah lengkap!

    Reply
  2. aimprof08 says:
    October 26, 2012 at 18:21

    kenapa bisa berakibat “b!e” bil.bulat positif ?
    kenapa menggunakan faktorial pada “b” nya ?
    ato itu cuma trik pembuktiannya saja ?

    Reply
  3. yoshitsune says:
    April 29, 2011 at 18:22

    Q.E.D??
    wkwkw like that!!

    Reply
  4. silviana tata says:
    June 30, 2010 at 13:05

    tolong cariin materi ttg basis bilangan donk.mksh.

    Reply
  5. silviana tata says:
    June 30, 2010 at 13:03

    cariin donk materi ttg basis bilangan please penting bgt.
    mksh sebelum’a.

    Reply
  6. Pardamean Panjaitan says:
    December 1, 2009 at 21:10

    Aku senang bisa berkenalan dengan Mas Arya.
    Semoga Tuhan memberkati Mas Arya.
    Btw, Mas, adakah rumus deret geometri atau rumus deret aritmatika dari sepuluh bilangan prima pertama?

    Reply
  7. idiotique_hebb says:
    November 30, 2009 at 09:23

    hui mantab…

    Reply
  8. samsul arifin says:
    September 27, 2009 at 08:27

    e di atas maksudnya bilangan natural bukan to?

    Reply
  9. adartap says:
    August 29, 2009 at 01:37

    Segarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr banget rasanya baca postingan ini. Great!!!

    Reply
  10. putri says:
    August 28, 2009 at 15:24

    matematika itu susah…..

    Reply
  11. hendry says:
    December 14, 2008 at 19:19

    Parahh.. Keren banget pembuktiannya….

    Two thumbs up… ^^

    Reply
  12. adit38 says:
    December 14, 2008 at 18:36

    Informasi yang baik…

    btw…, bisa minta bantuan mas tetet ga?

    Mungkin mas tetet bidangnya bukan statistik, tapi minta tolong di koreksi tata bahasa, layout atau materi tentang statistik di blog saya yach…

    http://adit38.wordpress.com/2008/12/14/pengantar-statistika-dan-data-analisis-i/

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s