Untuk membantu memudahkan memahami definisi limit fungsi yang saya bahas kemarin maka kali ini saya akan membahas mengenai himpunan persekitaran dan titik limit
Himpunan Persekitaran
Diberikan himpunan 
disebut himpunan persekitaran dari titik 
Ambil titik 
Titik Limit
Definisi dari titik limit adalah untuk setiap bilangan real 
Perhatikan kembali gambar, titik 
Sekarang kembali lagi bahas limit fungsi
berdasarkan definisi limit dan apa yang kita bahas diatas, maka 
Blog Matematika Pak Satria 
Tolong bantu,, apa perbedaan cluster point dengan command point?
command point?? Saya malah baru dengar
ada kesalahan mas,diruang metriks
himpunan yg mempunyai 2 titik limit dan 3 titik limit,misalnya apa saja makasih
seumpama kita menginginkan himpunan yang mempunyai 3 limit gmn ya…??? tolong pencerahannya.. Thankss…
Assalamualaikum
Contoh himpunan yang mempunyai 2 titik lilit dan 3 titik limit di ruang topologi
makasih
Mungkin kita perlu lebih cermat dalam mendefinisikan titik limit, karena skenario titik limit menyangkut hubungan antara suatu himpunan dan suatu titik di suatu ruang metrik. Titik tersebut boleh jadi termuat di himpunan tersebut, namun boleh jadi berada di luar himpunan tersebut. Hal ini penting, karena konsep titik limit akan menuntun kita kepada definisi himpunan tertutup.
Ass,,,,mas sy dah liat dan pelajari pembuktian dari kedua teorema diatas tp sy msh agak bingung dgn pembuktianx,mhn penjelasanx mas klo ga keberatan.
Pertanyaan sy berikutx adalah:
1. Apa kunci utama dlm penentuan cluster/limit point? Misalkan : (0,1) dan [0,1] koq bisa limit pointx sama yaitu 0 dan 1?
2. Bgm menentukan boundary point dr sebuah himpunan (dlm ruang metrik)? Misalkan (0,1) dan [0,1] koq bisa booundary p[opintx sama 0 dan 1? pdhl yyg sy pahami bhw boundary point jika setiap persekitaran memuat titik2 dlm himpunanx dan komplemen himpunanx?
mhn penjelasanx…………..makasih sebelumx,,,
Bingung dibagian mana?
Mengenai titik limit n titik batas, Silahkan baca tulisan saya ini : https://ariaturns.wordpress.com/2008/10/24/titik-titik-di-ruang-metrik/
Semoga membantu.
Sebenarnya pertanyaan anda itu mudah, jika anda bener2 paham titik limit dan titik batas
Makasih mas atas bantuanx,,,,setelah membaca tulisanx sy paham skr tentang titik limit n titik batas,,,lain waktu kita boleh sharing lg ya mas,skali lg makasih byk atas bantuanx.
Assalamualaikum…kak sy ada soal menentukam titik limit,titik dalam, titik luar , titik terasing dan titik batas..mohon penjelasannya
Theorem 1: a subset of R is open if and only if it is the union of countably many disjoint open intervals in R.
Theorem 2: a subsetbof R is closed if and only if it contains all of its cluster points.
Mohon bantuanx untuk membuktikan kedua teorema diatas,,terima kasih sebelumx
Pembuktiannya da pada buku Introduction to Real Analysis, Bartle.
Makasih mas,,,dah membantu saya
Kalau lebih umum lagi di ruang topologi, persekitaran dari x adalah sebarang himpunan yang memuat sebuah himpunan terbuka yang memuat x.
Definisi persekitaran yang ditulis pada makalah ini klo di buku2 teks sebenarnya adalah definisi bola buka (open ball). Neighborhood suatu titik x biasanya didefinisikan (klo ga salah, bisa dicek di bukunya Bartle) sebagai kumpulan himpunan buka yang memuat x. Tp ga masalah juga sih klo definisinya sprt yg dah ditulis.
@ agus s S subset dari R dan S={1/n : n Asli}U{1-1/n : n Asli} hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 0 dan 1. silakan dibuktikan sndr.
contoh himpunan yang hanya menpunyai 2 titik limit apa ya???
makasih??
Mmm…titik limit dalam pengertian apa nich? Topologi atau ruang metriks?
@watcmath]
berlaku untuk setiap real posititif jadi jika 
titik limit di 
maka ada 
berlaku 
. Oleh karena himpunan terbatas belum tentu mempunyai 
dengan sifat tadi, jadi kesimpulan anada benar kalo secara umum himpunan berhingga di ruang metrik tidak mempunyai titik limit.
ya,ya saya sependapat dengan anda pentingnya quantifier “untuk setiap”. akan saya tambahkan terimakasih
karena
Mungkin perlu sedikit ditambahkan. Misalkan kita di ruang metrik dan kita punya situasi pada gambar di atas.
Misalkan anggota A digambarkan dengan kotak-kotak seperti di atas (dan tidak ada anggota lain). Dengan asumsi ini, x bukan titik limit karena kita bisa buat himpunan persekitaran dari x yang sangat kecil (katakan r/10^6) yang tidak memuat kotak-kotak selain x sendiri.
Well, secara umum himpunan berhingga di ruang metrik tidak mempunyai titik limit.
Tentang
memang sudah dijelaskan yang terlewat itu quantifier “untuk setiap” dan ini sangat penting. Untuk menjadi titik limit, sekecil apapun kita buat himpunan persekitaran di sekitar x, kita selalu menemukan titik lain.
@watchmath
itu jari-jari.radius jadinya harusnya positif
mm..iya sich lengkapnya emang harusnya seperti itu tapi kan saya sudah menjelaskkan di bagian himpunan persekitran kalo
Ada hal yg penting yg terlewat dari definisi titik limit di atas, yakni bahwa irisan
untuk setiap 
mohon bantuannya untuk membuktikan teorema berikut mas:
Diberikan Sistem dengan E⊂R^n. Jika terdapat fungsi Lyapunov V, dengan:
1. E_k={x∈E∣V(x)≤k} untuk suatu k>0 merupakan himpunan terbatas.
2. V ̇(x)≤0 untuk setiap x∈E_k , dan
3. Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam H={x∈E_k∣(V () ̇x)=0}, maka setiap solusi Sistem (7.1) x(t) menuju ke M untuk t→∞.
@mawi wijna
yup..itu di ruang metrik
Nr(x), himpunan persekitaran dari titik x itu menggunakan metrik baku (standar) di R kan? Apakah ada metrik lain di R yang juga dapat membentuk suatu himpunan persekitaran. Tunggu dulu…artikel ini semestanya di R dengan metrik baku kan?