Himpunan persekitaran dan titik limit

Posted on December 18, 2008 by Nursatria

Untuk membantu memudahkan memahami definisi limit fungsi yang saya bahas kemarin maka kali ini saya akan membahas mengenai himpunan persekitaran dan titik limit

Himpunan Persekitaran

Diberikan himpunan $A$ , untuk sebarang $x\in A$ dan konstanta real positif $r$ , himpunan

$N_{r}(x)=\left\{ a\in A;\:|x-a|<r\right\}$

disebut himpunan persekitaran dari titik $x$ dengan jari-jari/radius $r$ . Untuk memahaminya pehatikan gambar berikut

persekitaran

Ambil titik $x$ di $A$ dan bilangan positif $r$ sebgai jari-jari/radius dari $x$ maka akan terbentuk kumpulan titik-titik didalam radius $r$ , nah kumpulan titik-titik tersebutlah yang dinamakan himpunan persekitaran dinotasikan $N_{r}(x)$ dan titiknya sendiri dinamakan titik persekitaran

Titik Limit

Definisi dari titik limit adalah untuk setiap bilangan real $r>0$ berlaku

$N_{r}(x)\cap A-\{x\}\neq\emptyset$

Perhatikan kembali gambar, titik $x$ pada gambar termasuk titik limit, kenapa bisa begitu? Karena jika mengeluarkan $x$ maka tetep saja himpunan $N_{r}(x)$ mempunyai anggota $N_{r}(x)\neq\emptyset$ dan $N_{r}(x)\subset A$ atau dengan kata lain $N_{r}(x)\cap A=N_{r}(x)$ jadi bisa kita simpulkan $N_{r}(x)\cap A-\{x\}\neq\emptyset$

Sekarang kembali lagi bahas limit fungsi

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

berdasarkan definisi limit dan apa yang kita bahas diatas, maka $f(x)$ adalah titik limit di himpunan hasil/image $f(x)$ dan $L$ adalah titik persekitaran dari $f(x)$ begitu juga dengan $a$ adalah titik limit dari himpunan awal/domain dan $x$ adalah titik persekitaran dari $a$ . Jika kita bisa menemukan relasi/hubungan antara $\epsilon$ jari-jari himpunan persekitaran $f(x)$ dengan $\delta$ jari-jari himpunan persekitaran $a$ maka $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ bernilai benar

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

This entry was posted in Analisis, kalkulus and tagged himpunan, limit, matematika, Math, titik. Bookmark the permalink.

25 Responses to Himpunan persekitaran dan titik limit

krista says:

January 13, 2014 at 19:57

Tolong bantu,, apa perbedaan cluster point dengan command point?

Reply
- Aria Turns says:
  
  January 13, 2014 at 21:54
  
  command point?? Saya malah baru dengar
  
  Reply
Slamet says:

March 25, 2013 at 04:42

ada kesalahan mas,diruang metriks
himpunan yg mempunyai 2 titik limit dan 3 titik limit,misalnya apa saja makasih

Reply
Bolang says:

March 25, 2013 at 02:38

seumpama kita menginginkan himpunan yang mempunyai 3 limit gmn ya…??? tolong pencerahannya.. Thankss…

Reply
Slamet says:

March 25, 2013 at 02:37

Assalamualaikum
Contoh himpunan yang mempunyai 2 titik lilit dan 3 titik limit di ruang topologi
makasih

Reply
muharini says:

July 27, 2012 at 14:21

Mungkin kita perlu lebih cermat dalam mendefinisikan titik limit, karena skenario titik limit menyangkut hubungan antara suatu himpunan dan suatu titik di suatu ruang metrik. Titik tersebut boleh jadi termuat di himpunan tersebut, namun boleh jadi berada di luar himpunan tersebut. Hal ini penting, karena konsep titik limit akan menuntun kita kepada definisi himpunan tertutup.

Reply
Lukman gaffar says:

December 10, 2011 at 17:19

Ass,,,,mas sy dah liat dan pelajari pembuktian dari kedua teorema diatas tp sy msh agak bingung dgn pembuktianx,mhn penjelasanx mas klo ga keberatan.
Pertanyaan sy berikutx adalah:
1. Apa kunci utama dlm penentuan cluster/limit point? Misalkan : (0,1) dan [0,1] koq bisa limit pointx sama yaitu 0 dan 1?
2. Bgm menentukan boundary point dr sebuah himpunan (dlm ruang metrik)? Misalkan (0,1) dan [0,1] koq bisa booundary p[opintx sama 0 dan 1? pdhl yyg sy pahami bhw boundary point jika setiap persekitaran memuat titik2 dlm himpunanx dan komplemen himpunanx?
mhn penjelasanx…………..makasih sebelumx,,,

Reply
- Aria Turns says:
  
  December 10, 2011 at 18:47
  
  Bingung dibagian mana?
  Mengenai titik limit n titik batas, Silahkan baca tulisan saya ini : https://ariaturns.wordpress.com/2008/10/24/titik-titik-di-ruang-metrik/
  Semoga membantu.
  Sebenarnya pertanyaan anda itu mudah, jika anda bener2 paham titik limit dan titik batas
  
  Reply
  - Lukman gaffar says:
    
    December 11, 2011 at 12:00
    
    Makasih mas atas bantuanx,,,,setelah membaca tulisanx sy paham skr tentang titik limit n titik batas,,,lain waktu kita boleh sharing lg ya mas,skali lg makasih byk atas bantuanx.
    
    Reply
- irmayanti says:
  
  November 29, 2015 at 19:48
  
  Assalamualaikum…kak sy ada soal menentukam titik limit,titik dalam, titik luar , titik terasing dan titik batas..mohon penjelasannya
  
  Reply
Lukman gaffar says:

December 7, 2011 at 20:08

Theorem 1: a subset of R is open if and only if it is the union of countably many disjoint open intervals in R.

Theorem 2: a subsetbof R is closed if and only if it contains all of its cluster points.

Mohon bantuanx untuk membuktikan kedua teorema diatas,,terima kasih sebelumx

Reply
- Aria Turns says:
  
  December 8, 2011 at 11:16
  
  Pembuktiannya da pada buku Introduction to Real Analysis, Bartle.
  
  Reply
  - Lukman gaffar says:
    
    December 8, 2011 at 22:59
    
    Makasih mas,,,dah membantu saya
    
    Reply
Herry PS says:

April 7, 2011 at 00:13

Kalau lebih umum lagi di ruang topologi, persekitaran dari x adalah sebarang himpunan yang memuat sebuah himpunan terbuka yang memuat x.

Reply
anwar mutaqin says:

April 5, 2011 at 22:08

Definisi persekitaran yang ditulis pada makalah ini klo di buku2 teks sebenarnya adalah definisi bola buka (open ball). Neighborhood suatu titik x biasanya didefinisikan (klo ga salah, bisa dicek di bukunya Bartle) sebagai kumpulan himpunan buka yang memuat x. Tp ga masalah juga sih klo definisinya sprt yg dah ditulis.
@ agus s S subset dari R dan S={1/n : n Asli}U{1-1/n : n Asli} hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 0 dan 1. silakan dibuktikan sndr.

Reply
agus s says:

April 2, 2011 at 10:03

contoh himpunan yang hanya menpunyai 2 titik limit apa ya???
makasih??

Reply
- Aria Turns says:
  
  April 5, 2011 at 11:17
  
  Mmm…titik limit dalam pengertian apa nich? Topologi atau ruang metriks?
  
  Reply
Aria Turns says:

December 20, 2008 at 08:27

@watcmath]
ya,ya saya sependapat dengan anda pentingnya quantifier “untuk setiap”. akan saya tambahkan terimakasih
karena $r$ berlaku untuk setiap real posititif jadi jika $x$ titik limit di $A$ maka ada $y\in A,\, y\neq x$ berlaku $y\in A\cap N_{r}(x)$ . Oleh karena himpunan terbatas belum tentu mempunyai $y$ dengan sifat tadi, jadi kesimpulan anada benar kalo secara umum himpunan berhingga di ruang metrik tidak mempunyai titik limit.

Reply
watchmath says:

December 19, 2008 at 21:13

Mungkin perlu sedikit ditambahkan. Misalkan kita di ruang metrik dan kita punya situasi pada gambar di atas.
Misalkan anggota A digambarkan dengan kotak-kotak seperti di atas (dan tidak ada anggota lain). Dengan asumsi ini, x bukan titik limit karena kita bisa buat himpunan persekitaran dari x yang sangat kecil (katakan r/10^6) yang tidak memuat kotak-kotak selain x sendiri.

Well, secara umum himpunan berhingga di ruang metrik tidak mempunyai titik limit.

Reply
watchmath says:

December 19, 2008 at 21:05

Tentang $r>0$ memang sudah dijelaskan yang terlewat itu quantifier “untuk setiap” dan ini sangat penting. Untuk menjadi titik limit, sekecil apapun kita buat himpunan persekitaran di sekitar x, kita selalu menemukan titik lain.

Reply
Aria Turns says:

December 19, 2008 at 07:39

@watchmath
mm..iya sich lengkapnya emang harusnya seperti itu tapi kan saya sudah menjelaskkan di bagian himpunan persekitran kalo $r$ itu jari-jari.radius jadinya harusnya positif

Reply
watchmath says:

December 19, 2008 at 07:33

Ada hal yg penting yg terlewat dari definisi titik limit di atas, yakni bahwa irisan $N_r(x)\cap \left(A-\{x\}\right)\neq \empty$ untuk setiap $r>0$

Reply
- Rizal says:
  
  December 10, 2012 at 11:09
  
  mohon bantuannya untuk membuktikan teorema berikut mas:
  Diberikan Sistem dengan E⊂R^n. Jika terdapat fungsi Lyapunov V, dengan:
  1. E_k={x∈E∣V(x)≤k} untuk suatu k>0 merupakan himpunan terbatas.
  2. V ̇(x)≤0 untuk setiap x∈E_k , dan
  3. Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam H={x∈E_k∣(V () ̇x)=0}, maka setiap solusi Sistem (7.1) x(t) menuju ke M untuk t→∞.
  
  Reply
Aria Turns says:

December 19, 2008 at 00:10

@mawi wijna
yup..itu di ruang metrik

Reply
mawi wijna says:

December 18, 2008 at 19:21

Nr(x), himpunan persekitaran dari titik x itu menggunakan metrik baku (standar) di R kan? Apakah ada metrik lain di R yang juga dapat membentuk suatu himpunan persekitaran. Tunggu dulu…artikel ini semestanya di R dengan metrik baku kan?

Reply