Pembuktian aturan l’hospital

Saya sudah pernah membuktikan aturan rantai, nah kali ini saya akan membuktikan aturan l’hospital, aturan yang sering kita gunakan dalam kalkulus

aturan l’hospital berkata

1. jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=0$ dan $\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0$ maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

2. Jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\infty$ dan $\lim_{x\rightarrow c}g(x)=\infty$ maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Untuk membuktikan aturan l’hospital, kita membutuhkan teorema nilai tengah cauchy cauchy mean value theorem yang berkata

Jika $f(x)$ fungsi kontinyu pada interval tertutup $\left[a,b\right]$ maka ada $c$ elemen interval terbuka $(a,b)$ dimana

$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Nah.sekarang pembuktian untuk point no.1

menurut teorema nilai tengah cauchy diperoleh $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}$ untuk suatu $\xi\in(c,c+h)$

karena $f(c)=g(c)=0$ maka $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)}{g(c+h)}$

jika $h\rightarrow0$ berakibat $\xi\rightarrow c$ maka diperoleh

$\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{\xi\rightarrow c}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)}{g(c+h)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}$

Untuk point no.2

Diketahui $f(x)$ dan $g(x)$ terturun pada interval tertutup $\left[c,a\right]$ dimana

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty,\,\frac{f'(a)}{g'(a)}=m$

menurut teorema nilai tengah cauchy ada $\xi\in(c,x)\subset[c,a]$ dimana $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}$ i.

Ambil sebarang $\epsilon>0$ maka terdapat $\delta>0$ dimana

$\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-m\right|<\epsilon$

dengan $0<|\xi-a|<\delta$ . asumsi titik $c$ dan titik $x$ terletak pada radius $\delta$ atau dengan kata lain $a-\delta<c<\xi<x<a<a+\delta$ dari persamaan i diproleh
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)}{f(x)-f(c)}\bullet\frac{g(x)-g(c)}{g(x)}\bullet\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}$

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}\bullet\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

kita tahu bahwa $\lim_{x\rightarrow a}\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}=1$
selanjutnya akan kita buktikan jika $x\rightarrow a$ maka $\xi\rightarrow a$ .

Andaikan $x$ mendekati $a$ maka ada $0<\delta'<\delta$ dimana $|x-a|<\delta'<\delta$

Untuk sebarang $\epsilon>0$ diperoleh

$\left|\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/fx)}-1\right|<\frac{\epsilon}{|m|+\epsilon}$

untuk $|x-a|<\delta'$ diperoleh

$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-m\right|=\left|\left(\frac{f'(\xi)}{g(\xi)}-m\right)+\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\left(\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/fx)}-1\right)\right|$

$\leq\epsilon+(|m|+\epsilon)\frac{\epsilon}{|m|+\epsilon}=2\epsilon$

Itu membuktikan $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=m$

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

6 Responses to Pembuktian aturan l’hospital

Aria Turns says:

December 25, 2008 at 08:44

@watchmatg
emang bener kata hendry, ada step yang terlewat dalam pembuktian diatas, ntar akan saya revisi

watchmath says:

December 25, 2008 at 07:37

@Hendry: saya sependapat bahwa $\xi$ untuk $f$ dan $g$ secara umum memang berbeda. Tapi kita bisa menanganinya sebagai berikut, definisikan $\xi:=\max\{\xi_1,\xi_2\}$ , maka argumen pembuktian diatas tetap jalan karena jika $\xi\to c$ maka $\latex \xi_1,\xi_2$ keduanya menuju $c$ .

watchmath says:

December 25, 2008 at 07:33

Hendry benar ada typo di atas, harusnya $f'(\epsilon)$ dan bukan $f(\epsilon)$ .
Sedikit komentar tentang penulisan. Di post di atas ditulis ambil $\epsilon$ di $(c,c+h)$ yang mengesankan bahwa $\epsilon$ ini diambil secara sembarang dan tentunya itu tidak benar. Tepatnya, fix $h>0$ . Dengan mean value theorem, ada $\epsilon\in(c,c+h)$ (bergantung thd h) sedemikan sehingga $f'(\epsilon)=\left(f(c+h)-f(c)\right)/h$. Kebergantungan $\epsilon$ terhadap $h$ ini berguna kelak karena jika $h\to 0$ maka $\epsilon \to c$.

hendry says:

December 24, 2008 at 21:16

Teorema nilai tengah khan bunyinya:
$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Saya search di google, rumus yang benar untuk Cauchy’s Mean Value Theorem adalah $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .. Jadi, bukan $f(\xi)$ tapi $f'(\xi)$ . begitu pula dengan $g(\xi)$ .. Dan, teorema Cauchy setahu aku gak bisa didapat langsung dengan hanya membagi $f'(\xi)$ dengan $g'(\xi)$ , karena meskipun nilai a dan b nya sama, nilai \xi belum tentu sama untuk keduanya.. Jadi, jika dibagi secara langsung, maka rumus yang muncul adalah $\frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}=\frac{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ . Dengan demikian, perlu dibuktikan lagi mengapa $\xi_1=\xi_2$ ..

Mohon dikoreksi apabila saya ada yang salah.. ^^

Aria Turns says:

December 24, 2008 at 18:37

Itu didapet dari teorema nilai tengah
$\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)/(c+h)-c}{g(c+h)-f(c)/(c+h)-c}$
trus kita coret $(c+h)-c$

hendry says:

December 24, 2008 at 17:53

dari mana datangnya rumus ini: $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}$ ?

	Hajirin on Review The God Delusion
	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …