Quaternion

Posted on December 27, 2008 by Nursatria

Dari sekian banyak istilah/terminologi matematika yang saya ketahui, menurut saya “Quaternion”  adalah istilah yang terdengar paling keren, seperti nama planet atau galaxy dalam film Star trek atau staw wars, ya kan?

Apa itu Quaternion?

Adalah himpunan bagian \mathbb{H} (dinotasikan sesuai orang yang menemukannya Hamilton) pada ruang vektor berdimensi 4 atas real \mathbb{R}^{4} yang mempunyai basis 1,i,j dan k dimana basis-basis tersebut mempunyi sifat

i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1

ij=-ji=k

jk=-kj=i

ki=-ik=j

atau jika ditulis dalam tabel perkalian diperoleh

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j i -1

jika h\in\mathbb{H} maka h=a1+bi+cj+dK untuk suatu a,b,c,d\in\mathbb{R} karena a1=a maka bisa kita tulis h=a+bi+cj+dkbagian a disebut bagian skalar dan bi+cj+dk disebut bagian vektor

Perkalian dan penjumlahan pada Quaternion

Ambil a.b\in\mathbb{H} dimana a=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}j dan b=b_{0}+b_{1}i+b_{2}j+b_{3}j maka

a+b

(a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)+(b_{0}+b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k)

(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i+(a_{2}+b_{2})j+(a_{3}+b_{3})k

Sedangkan perkaliannya atau kadang disebut hamilton product

ab

(a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)(b_{0}+b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k)

Jabarkan dengan menggunakan sifat distributif kita peroleh

(a1a2 − b1b2 − c1c2 − d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 − d1c2)i + (a1c2 − b1d2 + c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2 − c1b2 + d1a2)k.

Karena quaternion adalah vektor maka opersi dot product dan norm juga berlaku di quaternion

Aplikasi

Setau saya quaternion digunakan untuk merancang desain aerodinamis suatu pesawat dan menghitung gerak orbit satelit

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex and tagged , , . Bookmark the permalink.

12 Responses to Quaternion

  1. Dartoyo says:
    November 4, 2022 at 21:23

    Quaternion banyak banget di pakai dalam pengembangan game dan robotika pak, seneng banget baca post ini

    Reply
  2. sukardi says:
    January 25, 2015 at 01:27

    untuk cara mendapatkan nilai dari i kuadrat=j kuadrat=k kuadarat =-1 itu menggunakan definisi vektor e1,e2,e3, dan seterusnya… untuk lebih jelasnya saudara bisa hub. saya dengan layanan e mail: sukardi.math@gmail.com

    Reply
  3. zuhriyah sompa says:
    September 24, 2013 at 10:49

    terimakasih dengan tulisannya…sangat bermanfaat..
    ada file mengenai fractional quaternion………

    Reply
  4. nani says:
    September 20, 2013 at 16:30

    Salam kenal, sy nani mahasiswa program magister matematika terapan. Kebetulan sy dikasih bahan TA tentang Quaternion olh dosen sy, sy mnt saran referensi u mempelajari basic dr quaternion ini. soalx ini sesuatu yg baru bg sy. Trimakasih sbelumnya ats bantuannya…

    Reply
  5. Aria Turns says:
    December 29, 2008 at 18:57

    @mawi wijna
    Kita tahu quaternion mempunyai bentuh h=a+bi+cj+dk dimana a disebut bagian skalar dan bi+cj+dk disebut bagian vektor yang berdimensi 3. itulah yang saya maksud vektor dimensi 3 ditambah satu skalar

    Reply
  6. mawi wijna says:
    December 29, 2008 at 15:20

    maksudnya vektor dimensi 3 ditambah satu skalar tu gimana ya?

    Reply
  7. Aria Turns says:
    December 29, 2008 at 09:51

    @ mawi wijana
    say udah buka buku A First Course in Abstract Algebra karangan Fraleigh disitu dikatakan
    ij=-ji=k

    jk=-kj=i

    ki=-ik=j
    dikarenakan opersi cros product, mungkin itu yang kamu maksud?
    karna i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 merupakan devinisi.
    Sudah saya katakan quuaternion terdiri dari bagian skalar dan bagian vektor jadi sebenernya quaternion itu adalah vektor dimensi 3 ditambah saru skalar, operasi cros product pada quaternion hanya berlaku di baguan vektor bi+cj+dk
    @hendry
    ya saya salah tulis, udah saya revisi makasih

    Reply
  8. hendry says:
    December 28, 2008 at 23:32

    Saya juga baru pertama kali mendengar adanya istilah quarternion… Bahkan banyak orang yang mencoba mendefinisikan himpunan di \mathbb{R}^{4}. Ya, cukup aneh memang.. ~~a

    @ atas: setahu saya, cross product memang hanya bisa di \mathbb{R}^{3} deh.. Makanya, di atas khan namanya bukan “Cross” product tapi “Hamilton” Product.

    @ariaturns: di atas gak salah nulis ya? a = a_0 +a_1 i+a_2 j+ a_3 j. Bukankah seharusnya: a = a_0 +a_1 i+a_2 j+ a_3 k. Jadi, bukan j, tapi k..
    Apa saya yang keliru??

    Reply
  9. mawi wijna says:
    December 28, 2008 at 20:05

    sebagai orang aljabar, saya mau menambahkan kalau Quarternion merupakan salah satu contoh Skew Field, yaitu ring dengan elemen satuan yang setiap elemen selain 0 memiliki invers terhadap perkalian. Quarternion BUKAN ring komutatif.

    yang emmbuat saya bertanya-tanya hingga saat ini, kenapa bisa i kuadrat = j kuadrat = k kuadrat = -1? menurut A First Course in Abstract Algebra karangan Fraleigh hal tersebut dikarenakan operasi cross product vektor. Nah, bagaimana sih operasi cross product vector di ruang vektor berdimensi 4?

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s