Bilangan kompleks sebagai matriks 2×2

Posted on February 8, 2009 by Nursatria

Apakah kalaian tahu bahwa bilangan kompleks bisa dituliskan dalam bentuk matriks ukuran 2×2.

Diberikan fungsi matriks M:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}^{2\times2}

Yang didefinisikan

M(z)=\left[\begin{array}{cc}\Re(z) & -\Im(z)\\ \Im(z) & \Re(z) \end{array}\right]

dimana \Re(z) dan \Im(z) adalah bagian real dan imajiner dari z\in\mathbb{C}

Dari definisi diatas jika z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} maka diperoleh

M(z_{1}\pm z_{2})=M(z_{1})\pm M(z_{2})

M(z_{1}z_{2})=M(z_{1})M(z_{2})

M(z_{1}/z_{2})=[M(z_{2})]^{-1}M(z_{1})

Tidak saya buktikan, kalian buktikan saja sendiri yach

Konjugate dan modulus

Kita tahu jika z=a+bimaka konjugatenya \bar{z}=a-bi kita peroleh

M(\bar{z})=\left[\begin{array}{cc} a & b\\ -b & a\end{array}\right]

dengan mudah kita tahu bahwa M(\bar{z})=M^{T}(z)

Jadi matriks konjugate M(\bar{z})  merupakan transpose dari M(z)

Kita juga tahu |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, sekarang kita hitung determinan dari M(z)

\det(M(z))=\left|\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a\end{array}\right|=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}

Jadi |z|^{2}=\det(M(z))

Persamaan euler

Kita tahu persamaan euler berkata z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)=re^{i\theta} dengan r=|z| jika kita tulis dalam bentuk matrik

M(z)=r\left[\begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right]=r\rho(\theta)

Itu berarti \rho(\theta)  merupakan matriks rotasi yang memutar berlawanan arah jarum jam suatu vektor dengan panjang r di \mathbb{\mathbb{R}}^{2} sebesar \theta

Karena z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta+\alpha)} dan z_{1}/z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\theta-\alpha)}

diperoleh

M(z_{1})M(z_{2})=r_{1}\rho(\theta)r_{2}\rho(\alpha)=r_{1}r_{2}\rho(\theta+\alpha)

dan

M^{-1}(z_{2})M(z_{1})=\frac{r_{1}}{r_{2}}\rho(\theta-\alpha)

Telah kita tunjukan bahwa operasi2 di bilangan kompleks ekuivalen dengan operasi2 pada matriks yang merepresentasikan bilangan kompleks

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex and tagged , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Bilangan kompleks sebagai matriks 2×2

  1. irin_luph says:
    October 28, 2011 at 13:38

    ada daftar judul skripsi tentang fungsi kompleks g?????

    Reply
  2. erlyani says:
    June 28, 2010 at 17:39

    Bismillah
    ada artikelnya tentang bahasan khusus mengenai bilangan kompleks, n persamaan eigen nda
    cos sa baru pemula

    Reply
  3. alfain suhuda says:
    April 14, 2010 at 13:28

    Assalammualaikum
    mas mau nanya nih, ada referensi website yang memebahas matriks secara khusus gak?
    hususnya tentang terorema cremer???
    ditunggu jawabannya yah.
    trims…

    Reply
  4. adit38 says:
    February 14, 2009 at 12:00

    Wow, anak UGM pengetahuan matematika murninya luas semua, sampe di struktur aljabarnya dapat hal ini.
    Thanks informasinya

    Reply
  5. mawi wijna says:
    February 13, 2009 at 05:59

    perasaan pernah tau deh, dulu sepertinya ada di soal ujian akhir Peng. Struktur Aljabar II -nya Pak Sutjijana tahun ajaran 2005/2006 klo pemetaan:

    phi : Kompleks -> Matriks(2×2) atas Real

    dengan phi (a + bi) = [a -b ; b a ] tu isomorfisma.

    CMIIW

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s