Tadinya saya mau nulis apa yang disaranin Watchmath perbedaan himpunan tak hingga terhitung (infinite countable set) dan himpunan tak hingga tak terhitung (infinite uncountable set), tapi entah kenapa tiba-tiba saya ingin menulis megenai aksioma pilihan (Axioma of Choice) suatu aksioma dalam teory himpunana yang sering digunakan pada banyak bidang matematika lainnya.
Apa itu aksioma pilihan?
Secara sederhana aksioma pilihan berkata:
Untuk setiap
koleksi himpunan tak kosong
maka akan selalu ada fungsi pilihan yaitu fungsi yang memilih satu elemen dari setiap himpuna bagian tersebut. Dengan kata lain untuk semua
di
terdapat fungsi
di
dimana
Apa itu koleksi Himpunan?
Himpunan-himpunan yang berbeda bisa dikoleksikan jika mempunyi sifat yang sama Contoh bisa kita lihat himpunana
dan
sama-sama beranggotakan bilangan bulat maka kita mengkoleksikan ke-3 himpunan tersebut sebagai
tetapi jika
maka jelas tidak ada sifat yang sama dari
maka
tidak bisa dikoleksikan. Nah jika himpunan2 yang berbeda bisa dikoleksikan maka menurut axioma choice akan selalu terdapat fungsi pilihan
Contoh
- Jika
adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari
maka kita bisa mendefinisikan
sebagai memilih elemen terkecil dari
- Jika
adalah koleksi semua murid SMA Se-jakarta kita bisa mendefinisikan
memilih murid tertinggi disetiap SMA
- Jika
koleksi semua anggota keluarga se-Bogor kita bisa mendefinisikan
memilih sang kepala keluarga
Kenapa Fungsi Pilihan Selalu ada?
Kareana koleksi himpunan adalah kumpulan himpunan-himpunan yang mempuyai sifat yang sama maka secara intuisi, secara logika kita bisa membuat suatu fungsi atau bahasa awamnya kriteria bagiamana satu elemen di setiap himpunan yang berada di dalam koleksi tersebut diambil, ya kan? Kita tidak bisa membuktikan aksioma pilihan secara matematis tapi kita bisa merasakan kebenaran dari aksioma pilihan
Catetan
Jika koleksi semua himpunan bagian tak kosong dari bilangan real
dengan kata lain
maka sampai detik ini para matematikawan belum mampu untuk mendefinisikan fungsi pilihan di
, oleh sebab itu ada beberapa matematikawan yang meragukan kebenaran dari aksoma pilihan
Trimakasih atas penjelasannya! 👌
maen2 ke jematik.blogspot.com
kang izin ngopi….
Sebetulnya konsep koleksi sama dengan himpunan. Sebagai contoh
adalah koleksi dari himpunan2 yg juga bisa kitakan himpunan dari himpunan2. Agar tidak terjadi pengulangan kata himpunan maka dipilih istilah koleksi dari himpunan2.