Tadinya saya mau nulis apa yang disaranin Watchmath perbedaan himpunan tak hingga terhitung (infinite countable set) dan himpunan  tak hingga tak terhitung (infinite uncountable set), tapi entah kenapa tiba-tiba saya ingin menulis megenai aksioma pilihan (Axioma of Choice) suatu aksioma dalam teory himpunana yang sering digunakan pada banyak bidang matematika lainnya.

Apa itu aksioma pilihan?

Secara sederhana aksioma pilihan berkata:

Untuk setiap koleksi himpunan tak kosong maka akan selalu ada fungsi pilihan yaitu  fungsi yang memilih satu elemen dari setiap himpuna bagian tersebut. Dengan kata lain untuk semua di terdapat fungsi di dimana

Apa itu koleksi Himpunan?

Himpunan-himpunan yang berbeda bisa dikoleksikan jika mempunyi sifat yang sama Contoh bisa kita lihat himpunana dan sama-sama beranggotakan bilangan bulat maka kita mengkoleksikan ke-3 himpunan tersebut sebagai tetapi jika

maka jelas tidak ada sifat yang sama dari maka tidak bisa dikoleksikan.  Nah jika himpunan2 yang berbeda bisa dikoleksikan maka menurut axioma choice akan selalu terdapat fungsi pilihan

Contoh

• Jika adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari maka kita bisa mendefinisikan sebagai memilih elemen terkecil dari
• Jika adalah koleksi semua murid SMA Se-jakarta  kita bisa mendefinisikan memilih murid tertinggi disetiap SMA
• Jika koleksi semua anggota keluarga se-Bogor   kita bisa mendefinisikan memilih sang kepala keluarga

Kenapa Fungsi Pilihan Selalu ada?

Kareana koleksi himpunan adalah kumpulan himpunan-himpunan yang mempuyai sifat yang sama maka secara intuisi, secara logika kita bisa membuat suatu fungsi atau bahasa awamnya kriteria bagiamana satu elemen di setiap himpunan yang berada di dalam koleksi tersebut diambil, ya kan? Kita tidak bisa membuktikan aksioma pilihan secara matematis tapi kita bisa merasakan kebenaran dari aksioma pilihan

Catetan

Jika  koleksi semua himpunan bagian tak kosong dari bilangan real dengan kata lain maka sampai detik ini para  matematikawan belum mampu untuk mendefinisikan fungsi pilihan di  , oleh sebab itu ada beberapa matematikawan yang meragukan kebenaran dari aksoma pilihan