Sebelum menjelaskan mengenai Paradoks Russell, Saya mau sedikit bercerita

Alkisah disuatu desa terpencil di pedalaman Papua, Hidup seorang tukang cukur, dialah satu-satunya tukang cukur didesa tersebut. Semua orang didesa tersebut mencukur rabutnya sendiri atau dicukuri oleh si Tukang cukur dan si Tukang hanya mencukur orang yang tidak mencukur rabutnya sendiri

Pertanyaannya Apakah si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?

Jika kita mengatakan ya, si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri tetapi cerita diatas mengatakan si tukang cukur hanya mencukur mencukur orang yang tidak mencukur rabutnya sendiri tatapi jika dia tidak mencukur rambutnya sendri itu berarti menurut cerita dia harus pergi ke tukang cukur, padahal tukang cukurnya adalah diri sendiri itu artinya dia mencukur dirinya sendiri padahal dia tidak boleh mencukur dirinya sendiri

Gmana bingung gak??

Pertanyaan diatas adalah pertanyaan tertutup yang hanya memeiliki dua jawaban “iya ” atau “tidak”  tatapi apapun jawaban yang kita ambil akan menimbulkan kontradiksi atau ilmu logika dikatakan Inkonsisten (suatu statment atau kumpulan statment dikatakan konsisten jika tidak terjadi kontradiksi)

Itu tadi sekadar Ilustrasi untuk memeudahkan memahami Paradoks Russell, nah sekarang kita mulai pembahasan seriusnya..

Himpunan

Dalam matematika himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek,  yang umumnya ditulis didalam tanda bracket { } contoh himpunan {a,b,c} artinya himpunan tersebut  mengandung elemen a,b,dan c dan {b,c} merupakan himpunan bagian dari {a,b,c}

Himpunan juga bisa mengandung himpunan contoh {{a,b},{x,y}} mengandung 2 himpunan {a,b} dan {x,y} dan juga mengandung himpunan kosong, oya semua himpunan mangandung himpunan kosong. Kita juga bisa membuat himpunan yang memuat dirinya sendiri contoh S={S,{a,b}} bisa kita lihat S memuat dirinya,S element dari S dari sini kita akan mengkontruksikan suatu himpunan yang sangat unik

R adalah himpunanan yang berisikan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagi anggota

Atau bisa kita notasikan

Itu artinya  A elemen  R jika hanya jika  A bukan elemen dari  A

Pertanyaan sekarang apakah  R elemen dari R ? Ini hampir serupa dengan pertanyaan kita sebelumnya “Apakah si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?” kita akan salalu mendapatkan kontradiksi pada setiap jawabannya. Itu  berarti Himpunan R Inkonsistensi. Himpunan  R tersebut dikenal sebgai paradoks Russell.

Apa yang salah dari himpunan R?

Secara matematika sama sekali tidak ada yang salah dengan himpunan R, Paradoks Russell cuman ingin mengatakan bahwa terdapat inkonsistensi didalam teori Himpunan, bahwa tidak selamanya matematika itu Pasti, bawha ada Inkonsistensi, ada ketidak pastian didalam Matematika. Kemudian seorang Matematikawan bernama Kurt  Gödel, mengkonversi Paradoks Russell yang awalnya merupakan statetment di teori Himpunan menjadi Statement pada Teori Bilangan, dan menunjukan bahwa terdapat Inkonsistensi di Teori bilangan, yang dikenal dengan teorema tidak komplit Gödel Gödel’s Incompleteness Theorem