Kita tahu bahwa himpunan bilangan asli yang dinotasikan beranggotakan 1,2,3,4 dan seterusnya., tapi apakah kalian sadar bahwa adalah himpunan yang hanya ada dikepala kita dan elemen-elemen didalamya seperti 3,7,101 hanya konsep kita untuk menyatakan jumlah dari sesuatu hal.

Postulate Peano

Giuseppe Peano, seorang matematikawan Itali adalah orang  yang pertama kali meletakkan aturan dasar bagi himpunan bilangan asli yang dikenal sebaagai Postulate Peano atau bebarapa literatur lain menyebutnya sebagai aksioma Peano (Aksioma dan Postulate adalah sinonim , jadi dua istilah tersebut artinya sama)menurut postulate Peano, adalah himpunan tak nol yang mempunyai elemen dan dilengkapi dengan operasi biner yang disebut penjumlahan dimana operasi biner tersebut mempunyai aturan sebagai berikut

P1 untuk semua

Jika kita sebut sebagai pengganti succsesor dari maka P1 mengatkan bahawa   tidak mungkin menjadi pengganti suatu elemen di dengan kata lain   adalah elemen di yang bukan

P2 jika maka

P2 berkata jika pengganti dari dua elemen itu sama maka kedua elemen tersebut adalah sama

P3 Jika adalah himpunan, dimana

1)

2) untuk semua

Maka

P3 disebut juga postulate induksi matematika

****

Jadi menurut aksioma Peano, mempunyai anggota dimana

dan seterusnya

Dari aturan-aturan dasar inilah, teori bilangan bekerja,  Operasi-operasi aritmatika yang kita kenal seperti perkalian, pengurangan, pembagian sebenernya dibangun/dikontruksikan dari postulate Peano

Note

Ada banyak versi dari aksioma Peano, saya menggunakan versi dari G. Cuthbert WEbber, Number Sytem Of Analysis, dengan sedikit penyesuaian