Gradien

Gradien

Bisi kita artikan Gradien/slope adalah nilai peubah “change value” antara 2 buah titik yang berbeda a=(x_{0},y_{0}) dan b=(x_{1},y_{1}) yang didefinisikan

{\displaystyle m_{a,b}=\frac{x_{1}-x_{0}}{y_{1}-y_{0}}}

Kenapa harus 2 buah titik yang berbeda? karena jika a=b maka

m_{a,b}=0/0.  Dari gradien ini kita bisa membentuk persamaan garis lurus yang melalui a dan b dengan rumus sebagai berikut

{\displaystyle y-y_{0}=m_{a,b}(x-x_{0})}

Misalkan kita mempunyai suatu fungsi f(x) dan x_{0},x_{1}\in D(f(X)) domain f(x) maka kita mempunyai f(x_{0}),f(x_{1})\in Im(f(x)) image/daerah hasil f(x), sekarang kita mempunyai 2 buah titik yang berbeda p=(x_{0},f(x_{0})) dan q=(x_{1},f(x_{1})), maka  persamaan garis lurus yang menghubungkan p dan q kita sebut sebagai tali busur/secant line.

***

Sekarang kita asumsikan jarak p dan q sangat-sangat dekat sekali \left\Vert p-q\right\Vert =h\rightarrow0 atau dengan kata lain p=(x_{o},f(x_{o})) dan q=(x_{o}+h,f(x_{o}+h)), karen h menuju nol tapi tidak pernah mencapai nol (h\neq0) maka p dan q akan selalu menjadi 2 buah titik yang berbeda, tidak pernah sama, diperoleh gradien sebagai berikut

{\displaystyle m_{p,q}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}

{\displaystyle m_{p,q}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

Inilah yang kita namakan turunan/derivative f'(x_{0}), jadi turunan adalah gradien 2 buah titik pada kurva yang mana jarak keduanya sangat-sangat dekat sekali.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , . Bookmark the permalink.

13 Responses to Gradien

  1. ferihandika28@yahoo.com says:

    ane kagag ngerti 😦

  2. James Clerk Maxwell says:

    Jadi yang bener gimana mas aria?

  3. adit38 says:

    kalau saya lihat, garis singgung pasti ditentukan oleh dua titik, tapi disini mas aria memberi judul “gradien” di tulisan ini, tentu adalah hal berbeda antara garis singgung dan gradien (walaupun keduanya berhubungan).

    Jadi saya rasa kang watchmath dan mas aria lagi mebicarakan dua hal yang berbeda, tapi disini saya setuju dengan kang watchman jikalau mas aria bicara garis yang menyinggung kurva disuatu titik maka titik garis singgung tersebut tidak mesti berada di kurva tersebut.

    • Aria Turns says:

      Kemarin saya pernah nulis tentang garsi sinngung tetapi setelah berdikusi dengan banayak orang ternyata pemahaman saya salah makanuaya postingan tersebut saya hapus, komen2 diatas ini yang mas baca merupan s”sisa-sisa” diskusi saya dengan watchmath tentang garis singung yang saat itu saya masih memakai pemaham yang salah

  4. watchmath says:

    Mungkin perlu saya tambahkan sedikit.
    Secara historis konsep limit berawal dari permasalahan garis singgung. Garis singgung sudah dipahami (secara geometris) sebagai garis yang hanya menyinggung kurva di satu titik (secara lokal). Permasalahan garis singgung adalah permasalahan untuk menentukan persamaan garis ini (yg secara geometris konsepnya sudah jelas). Descartes mengamati bahwa slope dari garis singgung ini bisa didekati dengan slope secant line. Untuk membuat proses “mendekati” ini formal, Cauchy mengenalkan istilah limit.
    Ketika kita menuliskan \lim_{x\to c} f(x)=L ini tidak berarti bahwa nilai f(x)=L untuk suatu x yang dekat dengan c. Tapi berarti bahwa jika kita ambil nilai x “perlahan-lahan” mendekati c maka nilai-nilai f(x) mempunyai pola tertentu, ia “perlahan-lahan” mendekati suatu nilai tertentu, yakni L.

    Demikian pula dengan \lim_{h\to 0} [f(x+h)-f(x)]/h =f'(x) tidak berarti bahwa untuk suatu nilai h yang cukup dekat ke nol nilai dari [f(x+h)-f(x)]/h=f'(x).

  5. watchmath says:

    Saya pikir ini di akibatkan konsep anda yg “keliru” tentang limit.
    Seperti yang anda hitung di atas garis singgungnya adalah y=0. Nah sekarang titik mana saja di kurva $y=x^2$ yang mempunyai y-koordinat sama dengan nol? Substitusi y=0 kita dapatkan 0=x^2 yang berakibat =0. Artinya garis y=0 hanya melalui satu titik $latex(0,0)$ di kurva!
    Fakta bahwa garis harus melalui dua titik, tidak berarti bahwa kedua titik tersebut harus keduanya di kurva!

  6. Aria Turns says:

    @ Watchmath
    Sekarang kita jabarkan persamaan garis singung f(x)=x^{2} di \left(0,0\right) diperoleh
    {\displaystyle y-0=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(0+h)^{2}-0}{(0+h)-0}(x-0)}
    {\displaystyle y-0=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h{}^{2}-0}{h-0}(x-0)}
    nah sekarang “terlihat” ada dua titik yang dilaluinya k=(0,0) dan l=(h^{2},h) tapi karena jarak k dan l sangat-sangat kecil kita tidak bisa “melihatnya”, kita hanya bisa “melihat” titik k saja.
    saya hanya memegang prinsip bahwa garis lurus dibentuk dari 2 titik yang berbeda, karna garis singgung termasuk garis lurus maka haruslah dibentuk dari 2 titik yang berbeda pula tapi karna jarak kedua titiknya sangat dekat kita tidak mampu “melihat” keduanya kita hanya mampu “melihat” satu titik saja

    • James Clerk Maxwell says:

      Ikut pola pikir Aria Turns ah…. 😀

      Garis adalah kumpulan titik-titik yang jumlahnya tak hingga.

      Jadi kesimpulannya:

      Garis singgung melewati tak hingga titik.

      Buakakakakak…. 😀

      Btw, peace mas! it is a joke… more precisely it is a black joke.

    • adit38 says:

      ini mas bicara persamaan garis yang menyinggung kurva di suatu titik kan?

      Apa 2 titik itu ada di kurva atau di garis singgungnya?

      Mungkin itu maksud kang watchman

  7. winky says:

    kayake seru ni..ikutan nimbrung ya..tapi saya masih pemula..mohon bimbingannya..

    kayake betul watchmath mas tet…yg namanya garis singgung itu garis yang menyinggung suatu kurva di sebuah titik di kurva itu…tapi mungkin saja dia memotong kurva itu di titik yg lain…

    nah selanjutnya turunan suatu fungsi di titik (x,y) itu adalah slope (kemiringan) dari garis singgung kurva itu di titik (x,y)

    CMIIW

  8. watchmath says:

    Begini deh. Garis singgung dari f(x)=x^2 di titik (0,0) itu memotong satu titik atau dua titik di kurva? Kalau menurut pemahaman anda dua kan? Tapi itu jelas tidak mungkin karena itu berarti sumbu x memotong kurva y=x^2 di dua titik!!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s