ZFC

Sejek munculnya paradoks Russell pada tahun 1901, membuat para matematikawan kembali bertanya, apa kah himpunan itu? Definisi himpunan sebagai koleksi objek-objek tidak lah cukup, paradoks Russell membuat para matematikawan sadar bahwa dibutuhkan aturan main / sistem aksioma bagaimana suatu himpunan dibentuk agar teori himpunan kosisten (tidak terjadi kontradiksi). Ada beberapa sistem aksioma himpunan yang dibuat oleh para matematikawan tetapi yang sering digunakan, yang paling sering dipakai adalah sistem aksioama yang disebut dengan ZFC, diambil dari nama 2 matematikawan Zermelo dan Fraenkel sedangkan huruf “c” merujuk pada Axiom of Choice / aksioma pilihan. ZFC terdiri dari 9 aksioama + aksioma pilihan

Aksioma-aksioma tersebut adalah:

(note: disisni saya menotasikan himpunan dan elemen sama-sama mengunakan huruf kecil, karna elemen suatu himpunan bisa saja himpunan)

1. Aksioma himpunan kosong

Terdapat himpunan yang tidak memepunyai element, atau dengan kata lain terdapat himpunan a dimana

(\forall x)(x\notin a)

himpunan seperti ini dinamakan sebagai himpunann kososng yang dinotasikan dengan \emptyset

komen: menurut aksioma 1, kita selalau bisa membuat suatu himpunan, himpunan apa? ya..himpunan kosong.

2. Aksioma kesamaan

Dua bua himpunan dikatakan sama jika hanya jika mempunyai elemen yang sama

\forall x\forall y\left[\forall z\in x\left(\left(z\in x\right)\leftrightarrow\left(z\in y\right)\right)\Rightarrow\left(x=y\right)\right]

Komen: Aksioma 2 (sering juga disebut aksioma perluasan) mendefinisikan bagaimana 2 buah himpunan dikatakan sama, berdasarkan aksioma 2 bisa kita simpulkan bahwa himpunann kososong (aksioma1) adalah tunggal

3. Aksioma pasangan

untuk setiap x dan y maka terdapat himpunann z dimana anggota-anggotanya adalah x dan y

\forall x\forall y\exists z\forall t\left[\left(t\in z\right)\leftrightarrow\left(t=x\right)\vee\left(t=y\right)\right]

union

Komen: Aksioma ini berkata kita bisa menyususun himpunan dengan 2 elemen jika kita punya suatu x dan y maka kita bisa memebentuk himpunan c yang beranngotakan x dan y, yang kita tulis c=\left\{ x,y\right\} . Jika x=y maka c=\left\{ x\right\} yang disebut singleton, himpunan berelemen tunggal, nah sekarang bagaimana kalau elemennya lebih dari2? aksioma berikutnya akan menjawabnya

4. Aksioma gabungan

Untuk sebarang himpunan x maka terdapat “gabungan” himpunan y yang mana beranngotakan semua anggota dari anggota x

\left(\forall x\right)\left(\exists y\right)\left(\forall z\right)\left(z\in y\leftrightarrow\left(\exists w\right)\left(w\in x\wedge z\in w\right)\right)

Komen: Himpunan y disebut sebahgai “gabungan” x, dinotasikan \cup x, misalkan kita punya himpunan pasangan \left\{ x,y\right\} maka gabungannya kita tulis \cup\left\{ x,y\right\} atau bisa juga ditulis x\cup y

gabunganMisalkan kita punya suatu a,b,c maka kita bisa memebuat himpunan d dimana anqgota-anngotanya adalah a,b dan c

d\cup\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\}

5. aksioma himpunan Kuasa.

Untuk sebarang himpunan x maka terdapat himpunan y yang beranngotakan semu himpunan dimana anngotanya juga merupakan anngota dari x dengan kata lain y mememuat semua himpunan bagian dari x

\left(\forall x\right)\left(\exists y\right)\left(\forall z\right)\left(z\in y\leftrightarrow\left(\forall w\right)\left(w\in z\rightarrow w\in x\right)\right)

komen; berdasarkan aksioma 1 dan 2 maka himpunan kusasa suatu himpunan x adalah tunngal sebut saja \wp(x)

kuasa6. Aksioma tak hingga

Terdapat himpunan a dimana

\left[\left(\emptyset\in a\right)\wedge\left(\forall x\right)\left(x\in a\right)\right]\Rightarrow\left[\left(x\cup\left\{ x\right\} \right)\in a\right]

Komen: aksioma 6 mengatakan bahwa ada suatu himpunan a dimana \emptyset anggota a maka untuk sebarang x\in a berlaku \left(x\cup\left\{ x\right\} \right)\in a. Aksioma 6 lah yang “menciptakan bilangan asli (dimana nol termuat didalamnya), berdsarkan korespondensi

0\leftrightarrow\emptyset

1\leftrightarrow\emptyset\cup\left\{ \emptyset\right\}

2\leftrightarrow\emptyset\cup\left\{ \emptyset\cup\left\{ \emptyset\right\} \right\}

3\leftrightarrow\emptyset\cup\left\{ \emptyset\cup\left\{ \emptyset\cup\left\{ \emptyset\right\} \right\} \right\}

7. Aksioma Pemisah

Diberikan himpunan a dan “sifat” P maka terdapat himpunan bagian b dimana

\left(\forall x\right)\left(x\in B\right)\leftrightarrow\left(x\in a\wedge P(x)\right)

Himpunan b umumnya ditulis \left\{ x\in a:P(x)\right\}

Komen: Kita sulit mendefenisikan apa itu “sifat” tapi poin penting dari aksioma 6, jika kita mempunyai himpunan a dan suatu “sifat” P maka himpunan dimana elemen-elemen dari a memenuhi “sifat” P merupakan himpunan bagian dari a. Ini berarti “himpunan” paradoks russell \left\{ x:x\notin x\right\} melanggar aksioma 7 dengan kata lain kita tidak bisa menyusun himpunan seperti himpunan” paradoks russell, Aksioma ini juga dikenal sebagai aksioma pola axiom schema

8. Aksioma Penggantian

Diberikan 2 buah himpunann a dan b, serta fungsi f yang memetakan a ke b (f:a\rightarrow b) maka image/derah hasil f(a) merupakan himpunann

9. Aksioma fondasi

Jika a suatu himpunan tidak kosong maka terdapar elemen x dimana irisannya dengan a adalah kosong

\left(\forall a\neq\emptyset\right)\rightarrow\left(\exists x\right)\left[\left(x\in a\right)\wedge\left(x\cap a=\emptyset\right)\right]

Komen: Aksioma ini melarang kita memebuat himpunan yan memuat dirinya sendiri seperti a=\left\{ 1,2,3,a\right\}

10.aksioma pilihan

***

Sebenernya ZFC tidak memecahkan paradoks russell, ZFC hanya mengatakan paradoks Russell melanngar aturan/aksioma himpunan, paradoks russel tidak bisa dianngap sebgagai himpunan,

Kalo bukan himpunan, paradoks russel itu apa?

Jadi paradoks Russel adalah koleksi semua himpunan yang bukan himpunan, bingguk gak ? :mrgreen:

Note

Sebenernya tidak ada yang tahu pasti ada berapa aksioma pada ZFC, tetapi yang umumnya dipakai ZFC terdiri 9 aksioma plus aksioma pilihan

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in himpunan and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s