Hipotesis Continuum

Bilangan Cardinal

Bilangan Cardinal / cardinal number adalah bilang yang merepresentasikan banyaknya elemen pasa suatu himpunan dinotasikan dengan $|\,|$ sama dengan notasi nilai mutlak

Contoh: $A=\left\{ p,q,r,t\right\}$ maka $|A|=4$

Cantor mendefinisikan/menotasikan $\aleph_{0}=|\mathbb{N}|$ , jadi banyaknya elemen himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ sebanyak $\aleph_{0}$ dibaca aleph

***

dua buah himpunan $A$ dan $B$ dikatakan bercardinal sama ( $|A|=|B|$ jika terdapat fungsi bijektif dari $A$ ke $B$ , atau bahas aljabarnya $|A|=|B|$ jika hanya jika $A$ dan $B$ isomorphic. Sedangkan $|A|$ dikatakan “lebih besar” dari $|B|$ ( $|A|>|B|$ ) jika jika tidak ada fungsi bijektif dari $A$ ke $B$ .

Yang menarik Cantor menunjukan bahwa himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ , himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$ mempunyai cardinal yang sama dengan himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ atau dengan kata lain $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}$ . Jadi jika $A\subset B$ belum tentu $|A|<|B|$ .

Hipotesis Continuum

Lalu bagaimana dengan cardinal bilangan real $\mathbb{R}$ ? Berapa $|\mathbb{R}|$ ? (dinotasikan dengan $c=|\mathbb{R}|$ inilah yang disebut Continuum)

Cantor menunjukan bahwa $c>\aleph_{0}$ ., dia juga menunjukan bahwa cardinal dari $P\left(\mathbb{N}\right)$ himpunan kuasa $\mathbb{N}$ dari adalah $c$ dengan kata lain $2^{\aleph_{0}}=c$ . Dari sini timbul pertanyaan besar dari para matematikawan

Apkah ada suatu himpunan $M$ dimana mempunyai cardinalitas lebih dari dari $\aleph_{0}$ tapi kurang dari $c$ , dengan kata lain $\aleph_{0}<|M|<c$ ?

Cantor berkeyakinan bawa tidak ada tidak ada himpunan $M$ yang memenuhi dengan kata lain $\aleph_{1}=c$ , Cantor menyebutnya sebagai hipotesis Continuum.(untuk selanjutnya kita sebut hc). Cantor berusaha sekuat tenaga untuk membuktikan hc tapi sayang sampai ajal menjemput dia belum bisa memebuktikannya bahkan sampai sampai detik ini sekalipun hc belum terbukti. Menurut Gödel, hc tidak akan pernah bisa dibuktikan unprovable

***

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

8 Responses to Hipotesis Continuum

ridwan says:

July 27, 2012 at 17:15

saya ingin tanya..
beda bilangan kardinal dengan kardinalitas itu apa ya???
sepertinya sama…apa benar??

- Aria Turns says:
  
  July 27, 2012 at 18:11
  
  Kardinalitas itu ukuran himpunan sedangkan bilangan kardinal adalah kuantiti dari kardinalitas.
  
iva says:

April 29, 2010 at 08:34

bsa d jlaskn asal usulnya himp.countable and uncountable ga’??mhon bntuanx yh…

- Aria Turns says:
  
  April 30, 2010 at 07:46
  
  maaf, apa yang kamu maksud dengan asal-usul? kalau maksudmu sejarah himp.countable and uncountable, saya kurang tahu
  
MEC UPI says:

April 18, 2009 at 16:31

Semoga sukses ke depan nya….

MEC UPI says:

April 18, 2009 at 16:30

Salam Kenal Dari MEC ( Mathematic English Club ) @ HIMATIKA IDENTIKA UPI, sebelumnya trims tas link yang di sediakan,,,

trims

medaliemas says:

March 30, 2009 at 18:36

Satu hal yang menarik di sini adalah “tak berhingga” memiliki nilai yang berbeda-beda. Kardinalitas bilangan bulat dan kardinalitas bilangan real keduanya adalah tak berhingga, tetapi mereka memiliki nilai yang berbeda. Di sini kita sudah punya dua nilai tak berhingga. Sebenarnya ada tak berhingga banyaknya nilai dari tak berhingga! Saya rasa ini cukup menarik untuk dibahas, dan saya harap topik ini ditulis di blog ini suatu saat.

Selain itu, yang lebih menarik adalah mempelajari bukti dari teorema-teorema yang Anda tulis. Misalnya bukti dari $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}|$ dan $|\mathbb{Z}|<|\mathbb{R}|$ . Buktinya sangat menarik untuk dipelajari.

- Aria Turns says:
  
  March 30, 2009 at 19:57
  
  Ya..makasih atas sarannya