Bilangan Cardinal
Bilangan Cardinal / cardinal number adalah bilang yang merepresentasikan banyaknya elemen pasa suatu himpunan dinotasikan dengan sama dengan notasi nilai mutlak
Contoh: maka
Cantor mendefinisikan/menotasikan , jadi banyaknya elemen himpunan bilangan asli
sebanyak
dibaca aleph
***
dua buah himpunan dan
dikatakan bercardinal sama (
jika terdapat fungsi bijektif dari
ke
, atau bahas aljabarnya
jika hanya jika
dan
isomorphic. Sedangkan
dikatakan “lebih besar” dari
(
) jika jika tidak ada fungsi bijektif dari
ke
.
Yang menarik Cantor menunjukan bahwa himpunan bilangan bulat , himpunan bilangan rasional
mempunyai cardinal yang sama dengan himpunan bilangan asli
atau dengan kata lain
. Jadi jika
belum tentu
.
Hipotesis Continuum
Lalu bagaimana dengan cardinal bilangan real ? Berapa
? (dinotasikan dengan
inilah yang disebut Continuum)
Cantor menunjukan bahwa ., dia juga menunjukan bahwa cardinal dari
himpunan kuasa
dari adalah
dengan kata lain
. Dari sini timbul pertanyaan besar dari para matematikawan
Apkah ada suatu himpunan dimana mempunyai cardinalitas lebih dari dari
tapi kurang dari
, dengan kata lain
?
Cantor berkeyakinan bawa tidak ada tidak ada himpunan yang memenuhi dengan kata lain
, Cantor menyebutnya sebagai hipotesis Continuum.(untuk selanjutnya kita sebut hc). Cantor berusaha sekuat tenaga untuk membuktikan hc tapi sayang sampai ajal menjemput dia belum bisa memebuktikannya bahkan sampai sampai detik ini sekalipun hc belum terbukti. Menurut Gödel, hc tidak akan pernah bisa dibuktikan unprovable
***
saya ingin tanya..
beda bilangan kardinal dengan kardinalitas itu apa ya???
sepertinya sama…apa benar??
Kardinalitas itu ukuran himpunan sedangkan bilangan kardinal adalah kuantiti dari kardinalitas.
bsa d jlaskn asal usulnya himp.countable and uncountable ga’??mhon bntuanx yh…
maaf, apa yang kamu maksud dengan asal-usul? kalau maksudmu sejarah himp.countable and uncountable, saya kurang tahu
Semoga sukses ke depan nya….
Salam Kenal Dari MEC ( Mathematic English Club ) @ HIMATIKA IDENTIKA UPI, sebelumnya trims tas link yang di sediakan,,,
trims
Satu hal yang menarik di sini adalah “tak berhingga” memiliki nilai yang berbeda-beda. Kardinalitas bilangan bulat dan kardinalitas bilangan real keduanya adalah tak berhingga, tetapi mereka memiliki nilai yang berbeda. Di sini kita sudah punya dua nilai tak berhingga. Sebenarnya ada tak berhingga banyaknya nilai dari tak berhingga! Saya rasa ini cukup menarik untuk dibahas, dan saya harap topik ini ditulis di blog ini suatu saat.
Selain itu, yang lebih menarik adalah mempelajari bukti dari teorema-teorema yang Anda tulis. Misalnya bukti dari
dan
. Buktinya sangat menarik untuk dipelajari.
Ya..makasih atas sarannya