Di postingan saya sebelumnya ada yang minta membahas mengenai Teorema tidak lengkap Godel Gödel’s incompleteness theorems. Teorama terdiri atas 2 teorema yang dibuktikan oleh Godel matematikawan asal Austria pada tahun 1931di sini hanya menjelaskan apa itu Teorema tidak lengkap Godel, saya tidak menyertakan pembuktiannya.

tapi sebelumnya saya akan menjelaskan hal-hal sebagai berikut.

Aritmatika, Bahasa Formal, Sistem Formal

Pada awalnya Matematika hanya lah Ilmu Aritmatikia, Ilmu hitung, Pada awalnya orang hanya mengenal bilangan non-positif 0,1,2,3,4,5…. yang dilengkapi operasi penjumlahan, perkalian, pembagian, pengurangan yang digunakan untuk kebutuhan sehari-hari seperti berdagang, atau menghitung luas sebidang tanah. Waktu SD yang pertama kali kita pelajari mengenai Matematika adalah Aritmatika, kita belajar penjumlahan, perkalian, pembagian. Meskipun tampaknya sederhana tapi masih banyak masalah-masalah aritmatika yang belum terjawab seperti twin prime, konjekture Goldbach, konjekture Collatz, bahkan Hipotesis Riemann termasuk masalah aritmatika yang belum terjawab

***

Banyak yang bilang Matematika adalah bahasa, bahasa yang penuh simbol dan boleh dibilang cukup sulit dipahami oleh orang awam, misalkan saja saya menulis sebagai berikut

Hayo apa artinya? Itu adalah definisi limit jika ditulis dalam bahasa matematika, kita sebut saja bahasa Matematika ini sebagai bahasa Formal yaitu sekumpulan simbol-simbol dasar,

Jika kita telah men set-up suatu bahas formal maka barulah kita bisa mengkontruksikan sistem formal dengan cara menentukan kalimat-kalimat mana saja yang termasuk aksioma dan dilengkapi dengan aturan-aturan penjelasan rules of reasioning. Suatu kalimat di dikatakan dapat dibuktikan provable di jika terdapat penjelasan-penjelasan terbatas di yang berakhir di . Sutau sistem formal dikatakan konsisten jika tidak ada kalimat dimana dan tidak sama-sama terbukti di ,  Suatu sistem formal dikatakan lengkap jika untuk semua kalimat di hanya berlaku salah satu terbukti di atau tidak terbukti di .

Contoh-contoh sistem formal di Matematika adalah Aritmatika itu sendiri, teori Grup, Topologi, Geometry Euclid, dan banyak lainnya. Hampir semua sistem formal di Matematika mempunyai bahasa formal yang berbeda atau dengan kata lain mempunyai simbol-simbol dasar yang berbeda.

Nah..sekarang baru saya akan menuliskan 2 teorema tidak lengkap Godel

Teorema tidak lengkap yang pertama

Jika suatu sistem formal yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan konsisten maka terdapat kalimat aritmatika yang bernilai benar tapi tidak dapat dibuktikan di

Teorema tidak lengkap yang ke dua

Jika suatu sistem formal yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan konsisten maka kekonsistenan tidak terbukti di

***

Banyak orang yang salah paham yang beranggapan bahwa ke-dua teorema Godel berlaku ke semua sistem Formal di Matematika, itu tidak tepat, teorema Godel hanya berlaku kepada sistem formal yang memuat bahasa aritmatika dan bisa juga berlaku ke sistem formal yang objek bisa direpresentasikan sebagai bilangan asli. Jika suatu kalimat  tidak terbukti di sistem formal belum tentu tidak dapat dibuktikan sama-sekali bisa jadi bisa di buktikan olah sistem formal yang lain. Sebagai contoh teorema terakhir Fermat yang merupakan masalah aritmatis yang tidak bisa dibuktikan di secara aritmatis tapi dapat di buktikan dengan sistem formal yang jauh berbeda dari Aritmatis.

Apa Maksud dari Teorema Godel

Teorema Godel mengatakan bahwa mustahil kita mengkontruksikan sistem formal aritmatika dan sistem formal yang memuat aritmatika yang lengkap. Teorema ini juga menunjukan bawha bisa saja twin prime, konjekture Goldbach, konjekture Collatz, hipotesiss Riemann yang diyakini kebenarannya tidak akan pernah bisa terbuktikan. Bahwa Matematika itu terbatas, bahwa mustahil membuat sistem matematika yang benar-benar sempurna yang bisa menjawab semua masalah didalamnya, Teorema ini menunjukan bahwa ada sesuatu yang diyakini benar tapi tidak bisa  atau tepatnya belum bisa dijelaskan oleh logika. Teorema inilah yang membuat Sthephen Hawking berpikiran mustahil untuk membuat Teori Segala (Theory of Everything) teori tunggal yang menjelasakan alam semesta ,Secara Filsafat teorema ini menunjukan bahwa akal manusia itu terbatas