Sebenernya saya sudah pernah membuat tulisan mengenai operasi biner tapi kali ini saya ingi membahas operasi biner secara lebih mendalam. Kalau saya analogikan operasi biner adalah sebuah “mesin” yang memepunyai dua buah input dari elemen2 di suatu himpunan tak kosong S dengan output satu elemen di S juga. Jika “mesin” tersebut hanya mempunyai satu input dan satu ouput maka dikatakan operasi unary
Diberikan S adalah suatu himpunan tak kosong, himpunan S×S adalah himpunan yang memuat semua pasangan (a,b) dengan . Suatu operasi biner
pada S sebenarnya merupakan fungsi dari S×S ke S. Dinotasikan image (daerah hasil) pasangan (a,b) dengan
. Dengan kata lain operasi biner
memetakan dua buah elemen a dan b di S ke suatu elemen
di S pula.Opersi biner sering dikatakan tertutup untuk menegaskan bahwa
termuat di S, bukan di himpunan di luar S. Banyak simbol yang digunakan untuk operasi biner, yang umum digunakan adalah
dan
.
Diberikan himpunan bulat positif. Penjumlahan dan perkalian merupakan operasi biner di
karena untuk sebarang
berlaku
dan
. Tetapi pengurangan bukan operasi biner di
karena
. Contoh operasi biner yang lain di
adalah perpangkatan dan FPB.
Penjumlahan, perkalian, pengurangan kesemuanya merupakan operasi biner di himpunan bilangan real karena a+b, a×b, x-y merupakan bilangan real untuk setiap pasang a dan b bilangan real. Pembagian bukan merupakan operasi biner di
karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Tetapi pembagian merupakan operasi biner di
himpunan bilangan real tak nol.
Operasi Biner pada himpunan berhingga umunya disajikan melalui tabel. Sebagai contoh diberikan himpunan yang memuat 3 elemen. Operasi biner
pada T didefiniskan berdasarkan tabel 1.1 berikut
Tabel tersebut dibaca baris dioperasikan kolom, contoh
,
. Nah sekarang pertanyannya bagaimana mendefinisikan tabel di atas? Itu sich terserah yang buat tabel 🙂
Suatu operasi biner pada himpunan S dikatakan
- asositif jika berlaku
untuk semua
- Komutatif jika berlaku
untuk semua
Suatu elemen dikatakan identitas jika berlaku
untuk semua
.
Diberikan operasi biner pada himpunan S yang mempunyai identitas
, elemen
dikatakan invers dari
jika berlaku
dengan
. Pada umunya invers
dinotasikan
, sedangkan pada operasi penjumlahan invers dinotasikan
.
Diberikan2 operasi biner dan
pada himpunan S. Operasi
dikatakan distributif atas
jika berlaku
dan
untuk semua
Penjumlahan dan perkalian keduanya merupakan operasi asosiatif dan komutatif pada himpunan bilangan real . Identitas penjumlahan adalah 0 dan identitas perkalian adalah 1. Setiap bilangan real mempunyai invers atas penjumlahan sedangkan setiap bilangan real tak nol mempunyai invers atas perkalian. Selain itu perkalian bersifat distributif atas penjumlahan karena berlaku
dan
. Tetapi penjumlahan tidaklah bersifat distributif atas perkalian karena
tidak berlaku secara umum
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
mas, bagaimana pembuktian bahwa operasi perpangkatan pada bidang kompleks merupakan operasi biner?
mas, bagaimana membuktikan secara deduktif bahwa operasi perpangkatan pada bidang kompleks merupakan operasi biner?
Mantep nehh brooo.. bisa bantu buat blajar . .skalian nahbah ilmu… mo ada mid test struktur aljabar neh besok… haa
thanx mas,
membantu banget postingnya.
tunjukkan sifat sifat operasi biner a + b dan a . b di z+ jika a,b anggota z+
saya mau baca blog tentang matematika kok..he
design blognya sederhana tapi bagus 🙂
terima kasih postingannya..sangat membantu untuk tugas saya..