Operasi Biner

operasi biner

Sebenernya saya sudah pernah membuat tulisan mengenai operasi biner tapi kali ini saya ingi membahas operasi biner secara lebih mendalam. Kalau saya analogikan operasi biner adalah sebuah “mesin” yang memepunyai dua buah input dari elemen2 di suatu himpunan tak kosong S dengan output satu elemen di S juga. Jika “mesin” tersebut hanya mempunyai satu input dan satu ouput maka dikatakan operasi unary

Diberikan S adalah suatu himpunan tak kosong, himpunan S×S adalah himpunan yang memuat semua pasangan (a,b) dengan a,b\in S. Suatu operasi biner \star pada S sebenarnya merupakan fungsi dari S×S ke S. Dinotasikan image (daerah hasil) pasangan (a,b) dengan a\star b. Dengan kata lain operasi biner \star memetakan dua buah elemen a dan b di S ke suatu elemen a\star b di S pula.Opersi biner sering dikatakan tertutup untuk menegaskan bahwa a\star b termuat di S, bukan di himpunan di luar S. Banyak simbol yang digunakan untuk operasi biner, yang umum digunakan adalah +,-,\times,\div,\cap,\cup,\wedge dan \vee.

Diberikan P=\left\{ 1,2,3\ldots\right\} himpunan bulat positif. Penjumlahan dan perkalian merupakan operasi biner di P karena untuk sebarang x,y\in P berlaku x+y\in P dan x\times y\in P. Tetapi pengurangan bukan operasi biner di P karena 8-10\notin P. Contoh operasi biner yang lain di P adalah perpangkatan dan FPB.

Penjumlahan, perkalian, pengurangan kesemuanya merupakan operasi biner di himpunan bilangan real \mathbb{R} karena a+b, a×b, x-y merupakan bilangan real untuk setiap pasang a dan b bilangan real. Pembagian bukan merupakan operasi biner di \mathbb{R} karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Tetapi pembagian merupakan operasi biner di \mathbb{R}-\left\{ 0\right\} himpunan bilangan real tak nol.

Operasi Biner pada himpunan berhingga umunya disajikan melalui tabel. Sebagai contoh diberikan himpunan T=\left\{ a,b,c\right\} yang memuat 3 elemen. Operasi biner \star pada T didefiniskan berdasarkan tabel 1.1 berikut

tabel operasiTabel tersebut dibaca baris dioperasikan kolom, contoh b\star c=b, c\star b=a. Nah sekarang pertanyannya bagaimana mendefinisikan tabel di atas? Itu sich terserah yang buat tabel 🙂

Suatu operasi biner \star pada himpunan S dikatakan

  • asositif jika berlaku a\star\left(b\star c\right)=\left(a\star b\right)\star c untuk semua a,b,c\in S
  • Komutatif jika berlaku a\star b=b\star a untuk semua a,b\in S

Suatu elemen e\in S dikatakan identitas jika berlaku a\star e=e\star a=a untuk semua a\in S .

Diberikan operasi biner \star pada himpunan S yang mempunyai identitas e, elemen b dikatakan invers dari a jika berlaku a\star b=b\star a=e dengan a,b\in S. Pada umunya invers a dinotasikan

a^{-1}, sedangkan pada operasi penjumlahan invers dinotasikan -a.

Diberikan2 operasi biner \star dan \circ pada himpunan S. Operasi \circ dikatakan distributif atas \star jika berlaku a\circ\left(b\star c\right)=\left(a\circ b\right)\star\left(a\circ c\right) dan \left(b\star c\right)\circ a=\left(b\circ a\right)\star\left(c\circ a\right) untuk semua a,b,c\in S

Penjumlahan dan perkalian keduanya merupakan operasi asosiatif dan komutatif pada himpunan bilangan real \mathbb{R}. Identitas penjumlahan adalah 0 dan identitas perkalian adalah 1. Setiap bilangan real mempunyai invers atas penjumlahan sedangkan setiap bilangan real tak nol mempunyai invers atas perkalian. Selain itu perkalian bersifat distributif atas penjumlahan karena berlaku a\times\left(b+c\right)=\left(a\times b\right)+\left(a\times c\right) dan \left(b+c\right)\times a=\left(b\times a\right)+\left(c\times a\right). Tetapi penjumlahan tidaklah bersifat distributif atas perkalian karena a+\left(b\times c\right)\neq\left(a+b\right)\times\left(c+a\right) tidak berlaku secara umum

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Operasi Biner

  1. spp says:

    mas, bagaimana pembuktian bahwa operasi perpangkatan pada bidang kompleks merupakan operasi biner?

  2. spp says:

    mas, bagaimana membuktikan secara deduktif bahwa operasi perpangkatan pada bidang kompleks merupakan operasi biner?

  3. Vrof H says:

    Mantep nehh brooo.. bisa bantu buat blajar . .skalian nahbah ilmu… mo ada mid test struktur aljabar neh besok… haa

  4. thanx mas,
    membantu banget postingnya.

  5. rentina says:

    tunjukkan sifat sifat operasi biner a + b dan a . b di z+ jika a,b anggota z+

  6. azizah says:

    saya mau baca blog tentang matematika kok..he
    design blognya sederhana tapi bagus 🙂
    terima kasih postingannya..sangat membantu untuk tugas saya..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s