Penjelasan Definisi Limit (lagi)

Sebenernya saya sudah pernah menulis penjelasan definisi Limit tapi karena ada beberapa orang yang bilang penjelasan saya masih membingungkan. Okey, kali ini saya menjelas kan lagi mengenai limit dengan cara yang lebih sederhana.

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L}

Didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real \epsilon>0 (\epsilon dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  \delta>0 (\delta dibaca delta) dimana 0<|x-a|<\delta yang berakibat  |f(x)-L|<\epsilon

atau dalam bahas simbol ditulis

(\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0)\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon

Apa maksud dari definisi tersebut? Apa maksud dari L adalah limit fungsi f di a. Nah sekarang perhatikan gambar

 

limit

Suatu fungsi f di a dikatakan mempunyai limit di L jika memenuhi hal-hal sebagai berikut

  1. Untuk sebarang bilangan real positif  \epsilon, saya katakan “sebarang” artinya kita bebas memilih bilangan real positif kita bisa memilih \epsilon=100000000 atau \epsilon=0.0000000001, terserah kita. Kemudian bentuk interfal I=\left(L-\epsilon,L+\epsilon\right) jelas L\in I. Interval I kita namakan himpunan persekitaran L
  2. Ada bilangan real postif \delta yang akan membentuk interfal A=\left(a-\delta,a+\delta\right) himpunan persekitaran a
  3. Untuk semua x\in A, x\neq a (dengan kata lain jarak x dengan a kurang dari \delta atau  |x-a|<\delta) yang berakibat f(x)\in I (dengan kata lain jarak f(x) dengan L kurang dari \epsilon atau |f(x)-L|<\epsilon)

Jadi untuk menunjukan L adalah limit fungsi f di c.  Pertama-tama bentuk interval I=\left(L-\epsilon,L+\epsilon\right) tidak peduli berapa panjang atau pendeknya interval tersebut. Apakah ada bilangan real postif \delta yang akan membentuk interval A=\left(a-\delta,a+\delta\right) yang memuat  x didalamnya (x\in A) sedemikian hingga f(x)\in I? Jika jawabannya ya, maka benar L adalah limit fungsi f di c.

Untuk contoh pembuktiannya kalian klik disini ya..

Nah..apakah penjelsan saya yang sekarang lebih sederhana lebih mudah dipahami dibanding yang sebelumnya? Atau malah lebih rumit?

 

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

52 Responses to Penjelasan Definisi Limit (lagi)

  1. Rinto harmaji says:

    Kaq . . . Mf , kurang ngerti nih . . Ribet banget. . Maklum , orang lola, . .

  2. mengapa muncul istilah limit dalam matematika?????

    • tambahan lagi,,, mengapa epsilon harus bernilai positif,,,??? apakah karena epsilon itu mengenai jarak,,, dan jarak itu tidak ada yang negatif…

      dari penjelasannya saya tangkap,, berarti ada keadaan dimana x tidak sama dengan a berakibat f(x) = L,,, (maap masih rada bingung)

      mohon tanggapannya,, 🙂

  3. renasusianti says:

    ssahx bljar limit

  4. masih bingung,,
    mengapa dalam pembuktian limit harus menngunakan bantuan epsilon dan delta?
    mohon bantuannya.. makasih..

  5. Dyah Rara says:

    bisa gag tolong di jelasin,,,apha itu epsilon dan delta….truz,,epsilon dan delta thu bebas atw tergantung dr f(x) dan x……
    tg di bantu…tanx…

  6. barry says:

    mas, maaf saya mau tanya

    Kalo epsilon adalah jarak maksimal f(x) ke L, berarti nilai epsilon haruslah bilangan yang sangat kecil dong mas bukan sembarang bilangan, karena kalo epsilonnya besar banget pendekatan limit gak akan jadi sebuah pendekatan yang baik untuk suatu nilai.

    mohon pencerahannya mas :)) CMIIW

    • Aria Turns says:

      A mendekati B, itu artinya pada mulanya A jauh dari B ya kan
      Limit menggambarkan bagaimana f(x) mendekalti L
      pada mulanya f(x) jauh dari L begitupula x jauh dari a.
      kemudian kita lihat apa yang terjadi jika f(x) medekati L, apakah x juga medekati a.
      Nah.. inilah yang disebut limit

  7. fauzi says:

    makasih sekali lagi mas aria turn…telah mengoreksi saya dari kesalahan pemahaman sehingga saya nggak semakin jauh salah memahami limit….

  8. fauzi says:

    Alhamdulillah…aq dah mulai paham limit…moga2 demikian…

    Pemahamanku dibantu oleh kalimat berikut :

    ———————————————————
    Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat.
    ———————————————————

    Bener nggak mas aria turn?

    Soalnya dari situ aq jadi paham knapa harus ada epsilon dan delta dan ada interval di sekitaran x dan f(x)

    • fauzi says:

      Bener nggak mas? klo udah bener aq mau melangkah ke teknik penyelesaian soal2 limit baik pembuktian maupun cari nilai limit.

      Soalnya aq nggak mau melangkah nylesain soal-soal klo belum paham apa itu limit…

      Trus terang waktu SMA dulu nilai limitku bagus tapi nggak paham limit…aq menyelesaikan soal2 hanya prosedural saja.

      • Aria Turns says:

        Bukan, bukan begitu:
        sepertinya kamu masih bingung apa itu epsilon, apa itu delta.
        Secara sederhana
        epsilon adalah jarak maksimal f(x) ke L, saya pake kata maksimal karena bisa saja jarak f(x) ke L kurang dari epsilon tapi yang terpenting tidak boleh lebih dari epsilon
        Sedangkan delta adalah jarak maksimal x ke a
        Nah..yang dimaksud dengan limit adalah jawaban dari
        Tidak peduli berapa nila epsilon, apakah epsilon selalu mempunyai hubungan dengan delta?

  9. fauzi says:

    mkasih mas atas jawabannya, pemahamanku nambah lagi tentang konsep limit.

    Tapi dalam buku2 yang saya baca selalu mengatakan limit adalah pintu menuju ke kalkulus salah satunya adalah turunan.

    Sekali lagi makasih mas…

  10. fauzi says:

    Klo dalam fisika itu ada grafik jarak terhadap waktu

    untuk menceri kecepatan rata2

    Vrt = perubahan jarak per perubahan waktu = ds / dt

    untuk mencari kecepatan sesaat

    Vsesaat = limit ds/dt dengan dt—>0

    Klo dlm matematika pd gradien garis singgung kurva y = f(x)

    yaitu lim (fx +dx) – (f(x)
    ——————
    dx

    dimana dx–>0

  11. udin says:

    tolong dijelasin limit chandrasekar yang terkenal itu dong

  12. fauzi says:

    Bisa nggak ya dikasih contoh penerapan limit dalam fisika ato ekonomi ataupun pada bidang yang lain, soalnya yang aq tau, yang ada limit-limitnya selalu

    delta X mendekati nol, bukan x mendekati nol…makasih ya sebelumnya

    • fauzi says:

      Klo delta X mendekati nol aq paham banget, tapi klo x mendekati nol masih agak abstrak penerapannya…klo cuma untuk melihat nilai f(y) ketika x mendekati a, kenapa nggak sekalian aja kita subtitusikan, klo nggak terdefinisi kita utak-atik sampe ketemu f(a)….

  13. Fauzi says:

    Mas minta tolong dong…

    kasih penjelasan dengan gambar I = L-e dan L+e pada f(x) = 7.

    • fauzi says:

      Klo nurut aq f(x) = 7 cuma ada 1 nilai di f(x) yaitu 7, maka nggak ada nilai persekitaran 7, baik 7 kurang dikit maupun 7 lebih sedikit. cuma 7 tok.

      Jadi aq kesusahan memahami epsilonnya

      • Aria Turns says:

        Mm..setelah saya mebuka kembali kitab2 analisis yang sudah bulukan 🙂
        sepertinya saya telah melakukan kesalahan (lagi)
        \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=L
        nilai f\left(x\right) boleh sama dengan L nah baru nilai x yang tidak boleh sama dengan a
        Jadi bisa saya f\left(x\right)\in\left(L-\epsilon,L+\epsilon\right) hanya mempunyai satu nilai yaitu L itu sendiri
        Nah balik ke pertanyaan mu kita bebas membentuk interval \left(L-\epsilon,L+\epsilon\right) nah..sekarang pertanyaannya ada atau tidak f\left(x\right)\in\left(L-\epsilon,L+\epsilon\right) sedemikian hingga jarak x ke a kurang dari \delta?
        Nah.. tidak jadi soal apakah nilai f\left(x\right) tunggal yang penting nilai nya ada dan f\left(x\right) termuat didalam \left(L-\epsilon,L+\epsilon\right)
        Inilah enaknya melakukan diskusi, kita bisa menemukan keslahan kecil tapi fatal
        Thanks atas pertanyaanmu saya jadi tahu bahwa saya telah melakukan kesalahan 🙂

    • fauzi says:

      Nah skrng agak ringan nih pusing di kepalaku….makasih ya mas atas usahanya, moga allah membalasnya dengan kebaikan yang lebih besar.

  14. Fauzi says:

    Mas mau tanya point 3, itu
    yang benar

    f(x) – a < e

    atau

    f(x) – L < e

    bingung aq mas

  15. Anwar Mutaqin says:

    point ke 3, seharusnya semua x \in A , x \neq a.
    Berdasarkan uraian mas aria, gampangnya sih begini, f(A- \{a \}) \subseteq I .

  16. hahn says:

    “Jangan kan orang awam, Pak Wid sendiri pernah bilang banyak lulusan matematika yang tidak menegerti konsep limit”

    diantaranya saya 😀

  17. dewi hadin says:

    Hai, aku penasaran banget sama matematika dasar. Waktu SMA males banget liat simbol-simbol jadi dulu males belajarnya. Usul dong… penjelasan matematika yang penuh simbol ini lebih di uraikan dengan ‘bahasa populer’, atau minimal dijelaskan dulu simbol-simbol itu artinya apa. Soalnya, yang bikin matematika itu memusingkan karena kebanyakan istilah2 simbolik yang mendefinisikan kondisi2 tertentu. Thanks ya…

  18. Tututu says:

    Limit..
    Alat pengembang kalkulus..

  19. watchmath says:

    Definisi formal tersebut tidak “ujug-ujug” dibuat seperti itu. Definisi itu dibuat untuk menangkap esensi situasi seperti yg ada di gambar di atas. Bagaimana membuat definisi formal untuk mengatakan bahwa meskipun fungsi f tidak terdefinisi di a tapi nilainya bisa di buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat ke a. Jadinya muncullah definisi formal yg ditulis di postingan atas.

  20. Mawi Wijna says:

    segitu susahnya kah menjelaskan pengertian limit? memang pengertian limit secara keseluruhan tak mudah diserap bagi mereka yang awam dengan matematika.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s