Mengingat banyaknya permintaan agar saya membahas dugaan Poincare (Poincare Conjecture) maka postingan kali ini akan menjelaskan hal tersebut. Dugaan Poincare (DP) adalah satu-satunya problem dari seven millennium problem yang berhasil dipecahkan. DP dipecahkan oleh Matematikan rusia Grisha Perelman pada tahun 2003.

DP sebenarnya adalah pertanyaan yang diajukan Matematikawan Prancis Henri Poincare pada tahun 1900, pertanyaan tersebut adalah

Apakah semua 3-manifold tertutup yang simple connected itu Homeomorphic ke 3-sphere?

Apa itu “3-manifold tertutup,”simple connected” ,” Homeomorphic” dan”3-spahere”?

Mari saya jelasakan satu-satu.

3-sphere

Pertama-tama akan saya jelasakan mengenai 3-sphere.  3-sphere adalah bidang/permukaan dari bola berdimensi 4. Ada bisa bayangkan bola berdimensi 4? Jangan kwatir saya juga tidak bisa membayangkan. Dengan kata lain 3-sphere adalah himpunan semua titik2 yang mempunyai jarak yang sama dati titik pusat dalam dimensi-4 ruang euclid. Begitu pula dengan 2-sphere merupakan permukaan/bidang 2-dimensi yang membungkus/ yang merupakan kulit dari bola 3-dimensi (Bola pada umunya). Jadi 3-sphere adalah objek 3-dimensi yang membungkus bola berdimensi empat. Secara umum n-sphere adalah objek n-dimensi yang membungkus bola n+1 dimensi

Homeomorphic

Dua buah benda A dan B dikatakan homeomorphic. Jika bentuk A bisa diubah ke bentuk B dengan cara ditarik, direganggkan, ditarik, dibengkokkan, dilipat tetapi tidak boleh dipotong, dilubangi, dirobek ataupun dilem. Contoh lingkaran dan elips adalah homeomorphic karean lingkaran bisa diubah menjadi elips dengan cara direganggkan.  bujur-sangkar dan jejeran genjang merupakan homeomorphic. Begitu juga dengan cangkir dan donat merupakan homeomorphic

d-manifold

manilold berdimensi d atau d-manifold adalah permukaan dari objek geometri yang pada skala cukup kecil menyerupai ruang euclid berdimensi di . Konsep tersebut termotivasi dari permukaan bumi, kita tahu permukaan bumi berbentuk 2-sphere tapi dalam skala kecil merasa permukaan bumi ini merupakan bidang datar. Jadi Manifold merupakan generalisasi dari permukaan tempat kita berdiri, kita ngerasa permukaan tersebut datar padahal sebenernya tidak

contoh manifold

d=1 : kurva, garis lurus, parabola, dll

d=2 : bidang, 2-sphere, permukaan cangkir, permukaan donat, semua permukaan objek2 geometri dimensi 3

d=3 :  3-sphere.

Suatu d-manifold dikatakan tertutup jika memenuhi

1. bukan garis lurus yang panjangnya tak hingga untuk 1-manifold, dan bukan bidang dengan luas tak hingga untuk 2-manifold.
2. Tersambung /connected merupakan 1 potongan
3. Tanpa batas contoh n-sphere

Teorema

Setiap 1-manifold tertutup homeomorphic ke lingkaran (1-sphere)

Ketiga bentuk di atas homeomorphic.

Poincare menyadari bahwa tidak semua 2-manifold tertutup itu homeomorphic ke 2-sphere. Poincare ingin mencari tahu 2-manifold tertutup seperti apa yang homeomorphic ke 2-sphere.

simple connected

Poincare menyadari bahwa 2-sphere mempunyai sifat simple connected, yaitu setiap loop (putaran) tetutup dapat menyusut menjadi suatu titik. Perhatikan gambar

Dalam bahasa sederhana jika kita mengikatkan tali elastis pada bola (2-sphere) maka kita bisa melepaskan bola tanpa perlu merusak ikatan.

Akhirnya Poincare berkesimpulan

Teorema 2

Setiap 2-manifold tertutup yang simple connected homeomorphic ke 2-sphere.

(permukaan) donat tidaklah simple connected karena jika kita mengikatkan taki elastis yang melalui lubang tengah donat maka mustahil kita melepaskan donat  tanpa merusak ikatan. Berarti donat tidak homeomorphic ke 2-sphare

Kemudian Poincare bertanya apakah Setiap 3-manifold tertutup yang simple connected homeomorphic ke 3-sphere. Sayang Poincare tidak mampu menjawab pertanyaannya sendiri. Inilah yang kita kenal dengan DP.