Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Diberikan himpunan A, kardinalitas dari A dinotasikan |A| adalah banyaknya elemen dari A. Misalkan saja A={u,j,k,a} maka |A|=4. Dalam matematika dua buah himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama |A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B (atau sebaliknya).

Okey..saya anggap kalian sudah tau mengenai himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ , himpunan bilangan bulat $\mathbb{Z}$ dan himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$ kalau belum tanya mbah google aja yach 🙂

Kita tahu bahwa $\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}$ . Apakah itu berarti $\left|\mathbb{Q}\right|>\left|\mathbb{Z}\right|>\left|\mathbb{N}\right|$ ?

Percaya tidak kalau saya bilang ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama $\left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|$

Nah.. mari saya buktikan.

Pertama tama saya akan membuktikan $\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|$

Seperti yang saya katakan di atas bahwa untuk 2 buah himpunan mempunyai kardinalitas sama artinya ada fungsi bijektif yang menghubungkan kedua himpunan. Nah..apakah ada fungsi bijektif dari $\mathbb{Z}$ ke $\mathbb{N}$ ? Tentu saja ada fungsi tersebut didefinisikan

$g:\,\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}$

$g(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{jika } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{jika } x \ge 0. \end{cases}$

Saya tidak akan membuktikan fungsi di atas bijektif, kalian percaya saja ya ama saya. 😀

Q.E.D

Nah..sekarang akan membuktikan $\left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{N}\right|$

Untuk membuktikan $\left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{N}\right|$ sedikit lebih rumit dibanding membuktikan $\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|$ karena kita harus mengkontruksikan fungsi bijektifnya. Pertama-tama kumpulkan semua bilangan rasional yang positif lalu kita bariskan

baris pertama terdiri dari bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk 1/n

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

baris kedua mempunyai bentuk 2/n

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

baris ketiga mempunyai bentuk 3/n

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

begitu seterusnya, diperoleh

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6…

Kemudian kita urutkan bilangan dengan cara zig-zag dimulai dari pojok kiri atas ke kanan selangkah, ke diagonal bawah, ke bawah selangkah lalu ke diagonal atas begitu seterusnya dan hilangkan bilangan yang telah diambil

Kita peroleh urutan

1, 1/2, 2, 3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 5…

Sekarang kita tambahkan nol dan pasangan negatifnya

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4..

Itu berarti kita telah mengurutkan semua bilangan rasional. Jika kita memasangkan 0 ke 1, 1 ke 2, -1 ke 3, 1/2 ke 4 dan seturusnya maka kita telah mendefinisikan fungsi bijektif dari $\mathbb{Q}$ ke $\mathbb{N}$

Note: Pembuktian rasional diatas dikenal dengan nama “Cantor Zig Zag”

***

Nah saya telah membuktikan $\left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|$ . Cukup aneh bukan ketiga himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

13 Responses to Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

bung sandy says:

April 11, 2017 at 11:18

tanya
bagaimana jika misal himpunan P dan Q keduanya tak terhitung. maka apakah bisa disimpulkan bahwa |P| = |Q| ?

- Aria Turns says:
  
  April 11, 2017 at 19:25
  
  Tidak bisa untuk menunjukkan 2 himpunan berukuran sama harus ditunjukkan ada fungsi bijektif yang meghubungkan keduanya
  
Haidee Medina says:

September 18, 2014 at 19:26

Makasih ya kak membantu banget buat ngerjain pr

devi says:

October 15, 2010 at 09:42

makasih tapi q nyari kardinalitas urutannya yang lengkap,bisa gak dikirim ke e-mail q coz tgasnya susah bgt

- Aria Turns says:
  
  October 16, 2010 at 17:16
  
  “kardinalitas urutan” maksudmu apa yach? saya baru denger istilah itu
  
hervind says:

December 25, 2009 at 20:48

wah keren
saya tertarik bagt yg bginian keren
walaupun butuh waktu yg lama untuk mengerti
haha 😀

Denik Agustito says:

November 21, 2009 at 12:54

KAYAKNYA GUA NGGAK MUNGKIN DECH NGURUSIN BEGINIAN! LOE-LOE PADE NGOMONGIN BEGITUAN GUA JADI KAMBING CONGEK TAHU NGGAK SIH LOE!! IH…IH. MERINDING GUA NGELIHAT RUMUS BEGITUAN!!! MUDAH-MUDAHAN INI YANG TERAKHIR DALAM HIDUPKU HA….A

Tututu says:

November 20, 2009 at 13:51

Makasih mas..
😀

Tututu says:

November 20, 2009 at 13:48

ooo iya2…
Klo barisan mah kaga bijektif ya?dia cm injektif?

Tututu says:

November 20, 2009 at 10:58

Eh salah ding,
bnr ga salah st cara mmbktkan bhwa |N|=|R| itu pake barisan..
Kan barisan itu f:N->R

- Aria Turns says:
  
  November 20, 2009 at 12:56
  
  |N| tidak sama dengan |R| cara membuktikannya dengan diagonal cantor silahkan baca https://ariaturns.wordpress.com/2009/04/12/diagonal-cantor/
  Sebaiknya saya ganti kata “barisan” dengan “baris” supaya tidak membingungkanmu
  
Tututu says:

November 19, 2009 at 20:42

Berarti barisan jg bisa jd bukti bhwa |N|=|Z| ya mas?

- Aria Turns says:
  
  November 20, 2009 at 09:39
  
  Sebenernya saya tidak bicara barisan.
  Himpunan yang bijektif ke $\mathbb{N}$ (atau mempunyai kardinalitas yang sama dengan $\mathbb{N}$ ) disebut himpunan countable (dapet dihitung) artinya kita bisa menghitung elemen2 didalamnya 1,2,3,… meskipun proses perhitungan tidak pernah selesai. Cantor zig-zag adalah cara bagaimana kita menghitung elemen2 himpunan bilangan rasional.

	Hajirin on Review The God Delusion
	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …