Grup braid, mari kita mengepang

Posted on November 22, 2009 by Nursatria

Buat kalian para perempuan, kapan terakhir kalian mengepang rambut? Waktu SD, atau SMP? Denger-denger model rambut kepang sekarang lagi ngetrend, bener gak sich? (Sok tau mode on 😀 ). Postingan saya kali ini mau ngomongin soal kepang. Saya akan berbicara bahwa kepang dapat dimatematikakan, bahwa ada matematika didalam kepang-mengepang. Saya akan berbicara mengenai Braid Group, grup Kepang.

Grup adalah himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner • bersifat asositif dan memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

  1. Terdapat elemen identitas e dalam G, sedemikian hingga setiap  a dalam G, maka berlaku e • a = a • e = a
  2. Untuk setiap a dalam G, terdapat elemen inverse  b dalam G sedemikian hingga a • b = b • a = e, dengan e elemen identitas

Grup Braid

Bayangkan ada untaian tali sebanyak n yang mengantung secara paralel. Kedua ujung tiap-tiap untaian menempel pada titik-titik yang berbeda. Banyak untaian dihitung dari kiri ke kanan. Suatu n-braid memuat jalinan-jalinan antar untaian yang satu dengan yang lainnya dengan banyaknya untaian sebanyak n. Sepasang untaian hanya bisa dijalin dengan dua cara menyilangkan kedua untaian dengan untaian kiri diatas untaian kanan atau sebaliknya.

Contoh dari Braid, dari ki-ka : 4-braid, 2-braid, 6-braid

Kedua 4-braid dibawah adalah 4-braid yang berbeda

berbeda dengan

Himpunan dari semua kemungkinan n-braid membentuk grup yang disebut dengan Grup n-braid dinotasikan Bn. Operasi biner didefiniskan dengan menyambung dua braid menjadi satu. Ujung braid yang ke satu disambung dengan awal dari braid yang ke dua. Elemen Identitas adalah braid yang semua untaiannya tergantung lurus paralel tanpa jalinan/ persilangan. Invers dari sebarang braid adalah bayangan cerminnya dengan muka cermin tegak lurus terhadap  untaiannya. Dua buah braid dikatakan sama jika untaian-untaian braid yang satu ditarik atau dikendorkan maka akan akan menyerupai braid kedua.

Gambar 2: Operasi biner, invers, kesamaan

Representasi

Setiap grup n-braid dapat direpresntasikan dengan (n-1) pembangun (ditambah identitas) dinotasikan \sigma_{i} dengan i=1,2,3…n-1. Pembangun \sigma_{i} adalah braid yang dibentuk dengan menyilangkan untaian i ke bawah untain (i+1) sedangkan sedangkan inversnya \sigma_{i}^{-1} dibentuk dengan menyilangkan untaian i ke atas untaian (i+1)

Pembangun \sigma_{i} mempunyai relasi

\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i}\qquad\left|i-j\right|>1

\sigma_{i}\sigma_{j}\sigma_{i}=\sigma_{j}\sigma_{i}\sigma_{j}\qquad\left|i-j\right|=1

Jadi braid-braid pada gambar dua bisa ditulis sebagai berikut:

x=\sigma_{1}^{-1}

y=\sigma_{1}\sigma_{2}

xy=\sigma_{1}^{-1}\sigma_{1}\sigma_{2}

z=\sigma_{2}^{-1}\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}^{-1}\sigma_{3}

z^{-1}=\sigma_{3}^{-1}\sigma_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}

w=\sigma_{31}^{-1}\sigma_{3}\sigma_{2}^{-1}\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}\sigma_{3}^{-1}\sigma_{1}=\sigma_{2}^{-1}\sigma_{3}^{-1}\sigma_{2}

Dari contoh diatas jelas, ada banyak cara menuliskan braid.

***

Grup Braid dapat diaplikasikan ke Ilmu kriptografi. Seperti apa aplikasi grup Braid pada kriptografi? Silahkan tanya Bung Zaki, thesis dia mengenai hal tersebut.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Grup braid, mari kita mengepang

  1. muhammad.firdaus65@yahoo.co.id says:
    May 15, 2012 at 15:04

    assalamu’alaikum
    saya ingin mengangkat grup braid ini sebagai penelitian saya, tapi mngirim pesan (email) ke mas zaki kok gak ada responnya. mas ari bisa bantu saya? saya butuh beberapa referensi untuk grup braid ini ??

    mohon bantuannya

    Reply
  2. Kemerdekaan kreasi says:
    January 23, 2010 at 11:00

    Slm hormat, ada contoh kode delphi pemakaian teknik enkripsi data menggunakan algoritma enkripsi PR dengan jenis enkripsi simetrik dengan tipe stream cipher, fungsi enkripsi telah dibuat dlm file librari dll,sehingga dapat digunakan oleh bahasa pemrograman lainnya yang dapat mengakses file dll, kode pemakaian fungsi enkripsi dapat dilihat di http://www.ciauldownload.blogspot.com pada bagian artikel, terima kasih

    Reply
  3. zakimath says:
    November 27, 2009 at 07:28

    Wehehehe, akhirnya Tetet nulis Braid Group juga, thanks Tet… Iya nih, gw ganti topik Thesis ttg Braid Group Cryptography karena ketemu Topology, Homology, Configuration Spaces, Manifold, dsb, sory ya Den, he2… 😀

    Reply
  4. emma says:
    November 26, 2009 at 05:14

    Walah, makin akeh wae grup-grup yg lbh spesifik 😀

    Reply
  5. Denik Agustito says:
    November 24, 2009 at 19:24

    zaki! Back to the Elliptic Curve. Dan gue nggak tahu selanjutnya.

    Reply
  6. Mawi Wijna says:
    November 24, 2009 at 10:12

    weeeh!!! unik! ada grup bisa dibentuk dari jalinan simpuL…kreatif!

    Reply
  7. Denik Agustito says:
    November 23, 2009 at 23:17

    “Braid Grup” Wah si itu ahlinya si Zaki. Dia tesisnya hampir pake braid grup, tapi nggak jadi karena ketemu Homologi dari manifold. Gua sama zaki dah punya bukunya kok tentang braid grup. Di tawari yang mau bikin tugas akhir tentang braid grup, gua sama zaki siap!!!! diskusi lewat email atau facebook. he….e

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s