Grup Sederhana

Definisi 1: Suatu grup G dikatakan sederhana jika subgrup Normalnya hanyalah {e} dan G itu sendiri.

Apa itu subgrup normal?

Definisi 2: Diberikan grup G dan H subgrup dari G, subgrup H dikatakan normal jika berlaku

Para matematikawan tertarik untuk mempelajari Grup sederhana berhingga (Finite simple Group), yaitu Grup sederhana yang banyak elemennya berhingga. Kenapa? Karena para matematikawan mengetahui bahwa Grup sederhana berhingga memepunyai sifat-sifat yang serupa dengan Bilangan Prima.

Kita tahu bilangan Prima mempunyai sifat sebagai beriku:

1. Tidak bisa difaktorkan menjadi bilangan-bilangan yang lebih kecil
2. Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari satu merupakan perkalian dari bilangan-bilangan prima yang berbeda (Teorema Fundamental Aritmatika)

Begitu pula dengan Grup sederhana berhingga yang memmpunyai sifat-sifat sebagai berikut

1. Tidak bisa dipecah menjadi grup-grup yang lebih kecil.
2. Setiap Grup berhingga berorder lebih dari 1 merupakan gabungan dari Grup-grup sederhana berhingga yang berbeda

Teorema Besar

Para Matematikawan penasaran ingin menemukan semua grup sederhana berhingga lalu ditemukanlah Teorema besar: Klasifikasi grup sederhana berhingga (enormous theorem: the classification of the finite simple groups). Teorema ini menyatakan bahwa semua grup sederhana berhingga dapat diklasifikasi menjadi 3 macam

1. Grup siklik berorder prima
2. Grup Alternating berorder lebih dari 4
3. Grup Lie type (note: dapat diklasifikasi lagi menjadi 16 sub-macam)
4. Grup Sporadis, 26 grup yang diluar dari 2 kelompok diatas.

Jadi menurut teorema besar sebarang grup sederhana berhingga pastilah salah satu dari 4 macam grup diatas

Kenapa disebut besar?

Karena pembuktian teeoream ini terbentang lebih dari 10.000-15.000 halaman jurnal, tersebar oleh lebih dari 500 artikel yang berbeda, dikerjakan lebih dari 100 matematika, ditulis dari awal tahun 1950an sampai 1980-an. Pada tahun 1970an para matematikawan didunia bersatu menyusun strategi global untuk membuktikan teorema tersebut secara lengkap.

Semakin berkembangnya Matematika maka saat ini pembuktian teorema tersebut menyusut menjadi “hanya”  3.000-4.000 halaman saja .

Itulah teorema tersebut disebut “besar” karena butuh ribuan halaman, ratusan matematikawan, puluhan tahun untuk membuktikannya.

Btw siapa yang mau baca yach pembuktian sepanjang itu? 😀