Pertama-tama saya mengucapkan selamat tahun baru untuk kita semua. Semoga tahun ini kita bisa lebih baik dari tahun sebelumnya. Kali ini saya mau kembali membahas salah-satu masalah pada Millennium Problem yang bernama Persamaan Navier-Stokes dan eksistensi Solusi Yang lembut.

Persamaan Navier-Stokes

Persamaan Navier-stokes (PNS) adalah sistem persamaan differensial non-linier yang mendeskripsikan bagaimana fluida mengalir. Apa itu fluida? Fluida adalah subtansi yang bisa mengalir seperti gas atau air.  PNS bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan keren tetang kehidupan sehari-hari seperti bagaimana pesawat bisa terbang?atau Berapa waktu yang dibutuhkan secangkir kopi yang diaduk untuk menjadi tenang?

Diberikan vektor kecepatan dalam dimensi 3, dan skalar tekanan pressure, , dengan dan , PNS dirumuskan sebagai berikut:

(1)

(2)

Dengan kondisi awal

(3)

Disini adalah vektor kecepatan yang halus yang telah diketahui. adalah gaya eksternal yang diketahui semisal gravitasi. adalah koefisien positif dari kekentalan viscosity. Persamaan (1) sebenarnya hanyalah  hukum newton pada elemen fluida yang tergantung dari gaya eksternal, gaya gesek dan gaya tekan. Persamaan (2) hanya mengatakan bahwa fluida tersebut mampat incompressible, artinya fluida tersebut mempunyai densitas yang sama disetiap titik meskiput pada kenyataannya tidak ada fluida yang benar2 mampat tapi untuk memudahkan perhitungan diasumsikan fluida tersbut mampat.

Jadi PNS merupakan medel matematika untuk medeskripsikan bagaimana fluida mengalir, untuk bisa mendeskripsikan aliran fluida PNS membutuhkan 2 hal informasi yaitu:

1. Kekentalan  Fluida, kita tahu bahwa madu dan air mempunyai kekentalan yang berbeda, dalam fiska kekentalan adalah gaya gesek internal pada fluida
2. Kondisi awal yaitu kecepatan fluida disetiap titik pada saat t=0 dan itu harus halus

Sampai detik ini para matematikawan tidak mengetahui apakah PNS selalu mempunyai solusi pada dimensi 3, dan jika solusi tersebut eksis maka solusi tersebut haruslah “halus”. Inilah yang diminta oleh Clay Math institute, mereka meminta kita untuk menjawab

Dalam dimensi 3 dan waktu. Diberikan vektor kecepatan awal yang halus, apakah akan selalu ada vektor kecapatan dan skalar tekanan yang keduanya halus, yang merupakan solusi dari PNS.

Eksistensi

Clay Math institute meminta kita untuk membuktikan solusi dari PNS itu ada, eksis. Kita tidak diminta untuk mencari solusinya tapi cukup membuktikan solusinya ada. Apa yang dimaksud  “solusi dari PNS”? Jika kita bisa menemukan solusi dari PNS artinya kita bisa mengetahui secara pasti tekanan dan kecepatan fluida di titik manapun di waktu kapanpun pada massa depan.

Yang harus diperhatikan adalah masalah tersenut adalah abstarak, kita tidak bisa mengambil suatu fluida lalu membuktikan solusinya eksis. Kita harus membuktikan bahwa solusi PNS eksis untuk SEBARANG kekentalan, untuk SEBARANG kondisi awal yang diberikan. Inilah yang membuat masalah ini sulit dipecahkan.

Kehalusan

Dari tadi saya udah nyebut-nyebut kata “halus”. Dalam matematika suatu fungsi dikatakan halus jika kontinyu dan terturun pada suatu domian. Dalam kacamata fisika hal ini bertujuan agar setiap titik pada fluida mempunyai energi terbatas, mempunyai kecepatan dan tekanan yang terbatasa pula. Jadi selain harus membuktikan solusi PNS eksis, kita juga hatus membuktikan solusi juga halus tapi karena disyaratkan kondisi awalnya halus maka dengan sendirinya solusinya (jika ada) akan halus.

Counter Example

Bagaimana kalao kita yakin bahwa PNS tidak mempunyai solusi. Mudah saja kita tinggal ambil suatu fluida, (cukup satu macam saja) dengan nilai kekentalan tertentu dan kondisi awal tertentu lalu tunjukan bahwa fluida tersebut tidak mempunyai solusi. Jika kita sanggup menunjukan ada satu fluida yang tidak mempunyai solusi PNS maka kita telah memecahkan masalah ini, dan kita dapet 1juta US$, asyik makan2

Untuk membuat masalah ini lebih mudah, pihak Clay Math institute mengijinkan kita mengambil gaya eksternal sebesar nol ()