Paper yang menarik tapi..

Saya baru aja membaca paper Down with Determinants yang ditulis oleh Sheldon Axler, seorang doktor matematika lulusan University of California. Peper tesebut mengatakan bahwa aljabar linier akan lebih baik, lebih elegan jika tanpa determinan.  Peper yang sangat menarik terlebih bagi saya yang berkerja di alajabar tetapi saya merasa ada yang aneh/janggal pada peper tersebut.

Pada bagian awal papar membahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen (Pasangan eigen). Sejauh apa yang saya ketahui, semua buku tentang aljabar linier dan matriks menggunakan determinan untuk mencari nilai eigen. Diberikan matriks bujur sangkar A, nilai eigen \lambda adalah solusi dari \det\left(A-\lambda I\right). Jika kita mendapatkan nilai eigen maka dengan mudah kita menghitung vektor eigen. Jadi kita membutuhkan determinan untuk mencari nilai eigen Nah yang jadi masalah paper tersebut sama sekali tidak menjelasakan bagaimana caranya kita mencari niai eigen tanpa menggunakan determinan. Paper tersebut hanya mengatakan

Teorema (hal 3 pada paper): Setiap operator linear pada ruang verktor kompleks berdimensi hingga mempunyai nilai eigen.

(note: operator linier maksudnya adalah matriks bujur sangkar)

Bukti:


Diberikan V subruang vektor dari \mathbb{C}^{n} dan operator linear (matriks bujur sangkar) A

A\colon V\rightarrow V

Ambil vektor tak nol v\in V maka kita memperoleh himpunan vektor sebanyak n+1 yang tak bebas linier

\left\{ v,A\left(v\right),A^{2}\left(v\right),\ldots,A^{n}\left(v\right)\right\}

Karena himpunan tersebut tak bebas linier maka terdapat a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\mathbb{C} yang tidak semuanya nol sedemikian hingga

a_{0}v+a_{1}A\left(v\right)+\ldots+a_{n}A^{n}\left(v\right)=0

\left(a_{0}+a_{1}A+\ldots+a_{n}A^{n}\right)v=0

Menurut teorema fundamental aljabar setiap polynomial di kompleks mempunyai faktor-faktor linier, diperoleh:

\left(a_{0}+a_{1}A+\ldots+a_{n}A^{n}\right)v=c(A-\lambda_1 I)(A-\lambda_2 I)\dots(A-\lambda _m I)(v)=0

dengan c,\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} bilangan kompleks dan c\neq0.

Maka pastilah ada  A-\lambda_{i} yang memenuhi (A-\lambda_{i})v=0 atau dengan kata lain memenuhi Av=\lambda_{1}v

Nah..masalahnya paper tersebut tidak menjelaskan bagaimana kita mengambil/mencari v\in V dan a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\mathbb{C}. Lagi pula teorema tersebut hanya mengatakan bahwa setiap operator linier (matriks bujur sangkar) mempunyai nilai eigen bukanlah teorema untuk mencari nilai eigen. Jika kita membaca keseluruhan paper dapat disimpulkan aljabar linear tanpa determinan dibangun oleh nilai eigen tetapi anehnya paper itu sama sekali tidak menyinggung bagaimana caranya mencari nilai eigen tanpa menggunakan determinan. Bener-bener paper yang aneh 😛 atau saya yang salah memahami tu paper.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

13 Responses to Paper yang menarik tapi..

  1. syifa says:

    mohon bantuan dan pencerahannya 🙂 kenapa (A-lamdaI)X=0 jika dan hanya jika determinan (A-lamdaI)=0? ini tugas kuliah saya hehe terimakasih

  2. Herry Pribawanto S says:

    Dlm aljabar linear numerik ada beberapa algoritma utk mencari nilai eigen, seperti power method, inverse power method, lanczos method, rayleigh kusioen, dsb.. Seingat sy metode pangkat (power method) hanya menemukan nilai eigen dgn modulus terbesar.

  3. christina says:

    setau saya ada beberapa metode selain determinan….kyk metode pangkat trus apa lagi y???saia lupa…….
    g bwa buku2nya si….

  4. Herry Pribawanto S says:

    Sy kuliah analisis fungsional pake buku itu, jd pertama2 sy langsung ingat bukunya Alt itu. Sayang sekali memang blm ada terjemahan bhs inggrisnya. Tapi sy baru saja ingat ada buku berbahasa inggris yg memberikan contoh yg serupa:

    Methods of Modern Mathematical Physics, part I: Functional Analysis, karangan Michael Reed and Barry Simon, Academic Press, 1972.

  5. Herry Pribawanto S says:

    maaf itu ada yg tdk muncul, saya mau nulis T −λI

    • Aria Turns says:

      Iya sich definisinya determinan om Sheldon lebih fleksibel (boleh dibilang begitu) bisa dipakai tidak hanya di ruang vektor, ruang lain jg bisa..
      sempet nannya ke mbah google gmana menghitung nilai eigen tanpa determinan, cuman dapet satu cara pakai OBE
      ternyata ada cara lain dengan analisis fungsional, tapi kok pas saya liat google book bukunya bahasa jerrman yach..

  6. Herry Pribawanto S says:

    Di paper Sheldon Axler dituliskan definisi nilai eigen sebagai berikut:

    A complex number \lambda is called an eigenvalue of T if T −\lambda I is not injective.

    Jadi kalau mau mencari nilai eigen dari suatu operator T artinya cari nilai \lambda sehingga berlaku T −\lambda I bukan pemetaan injektif. Masalah menunjukkan suatu pemetaan injektif atau tidak itu bisa bermacam2 cara, tergantung struktur dan operator apa kita berkerja. Pada kasus ruang vektor berdimensi hingga salah satunya caranya bs dengan determinan.

    Contoh perhitungan misalnya bisa dilihat pada buku Lineare Funktionalanalysis karangan Hans Wilhelm Alt, yakni mencari nilai eigen (sprektrum titik), spektrum kontinu dan spektrum residu dari operator geser kiri pada ruang barisan. Mungkin di buku lain ada, tp saya hanya ingat yg ini.

    Memang tidak lazim pada buku2 aljabar linear definisi atau perhitungan nilai eigen tanpa determinan. Oleh karena itu perlunya sekali2 kita menengok ke luar aljabar linear. Nah tapi definisi mas Sheldon Axler itu yg lebih umum, krn berlaku juga utk ruang vektor berdimensi hingga. Bahkan untuk struktur selain ruang vektor, misalnya modul atas ring seperti yg dijelaskan mas Zaki, definisi nilai eigen ini tetap bs dipakai.

  7. Aria Turns says:

    @Zaki n Herry Pribawanto
    Disemua buku aljabar linier definisi pasangan eigen (eigen pair) gak ada hubungannya dengan deterninan, metode paling umum mencari pasangan eigen adalah menngunakan determinan, saya pernah baca suatu paper tentang mencari pasangan eigen suatu matriks dengan obe (operasi baris elemnter) meskipun begitu metode obe jauh lebih rumit dibandingkan dengan determinant
    kita selalu diajarkan mencari pasangan eogen dengan determinant, pertanyaan yang muncul setelah saya membaca paper tersebut ” Om sheldon, gimana caranya mencari pasangan eigen tanpa determinan?” inilah yang saya coba share dengan kalian semua.

  8. Herry Pribawanto S says:

    Saya mau share beberapa hal:

    1. Kebanyakan buku aljabar linear (sy tdk berani mengatakan semua, krn sy belum membaca semua buku aljabar linear yg ada di dunia) menggunakan pendekatan determinan untuk mencari nilai eigen karena objek pembicaraan dalam aljabar linear adalah ruang vektor berdimensi hingga yang secara teoritis kita dapat melakukan perhitungan sebanyak berhingga kali, walaupun pada prakteknya juga tidak semudah itu. Dan determinan adalah suatu konsep yang mudah diterima dan dikerjakan (bahkan oleh anak SMP-SMA).

    2. Teorema 2.1. pada halaman 3 paper karangan Sheldon Axler tersebut adalah bukti eksistensi, artinya dia hanya ingin menunjukkan adanya/eksistensi nilai eigen dari operator linear pada ruang vektor kompleks berdimensi hingga. That’s all.. dia tdk ingin menunjukkan hal yg lain2, termasuk prosedur mencari nilai eigen tersebut. Sebenarnya prosedur mencari nilai eigennya menurut saya trivial, jd memang tdk perlu dituangkan dlm sebuah teorema. Kalau mas Aria ingat ada beberapa teorema eksistensi di dalam aljabar misalnya setiap ruang vektor tak nol mempunyai basis, setiap ring komutatif dgn unsur kesatuan mempunyai ideal maksimal, dsb. Memang ada teorema yang cukup menarik seperti teorema titik tetap Banach karena menjamin eksistensi dan ketunggalan sekaligus memberikan prosedur mencari titik tetap dr pemetaan kontraksi di ruang Banach.

    3. Ketika saya membaca paper Sheldon Axler, saya tdk terlalu excited, karena definisi nilai eigen yang dikemukakan dlm papernya tersebut sebenarnya kejadian khusus dari teori spektrum di dalam analisis fungsional. Sebagaimana diketahui objek pembicaraan di dalam analisis fungsional adalah ruang vektor berdimensi hingga (ruang fungsi, ruang barisan, ruang operator, dsb). Ada tiga macam spektrum dari operator linear di ruang Banach yakni spektrum titik, spektrum kontinu, dan spektrum residu. Pada kasus ruang bernorma berdimensi hingga spektrum kontinu dan spektrum residu berupa himpunan kosong dan spektrum titik inilah yang dikenal sebagai nilai eigen.

    4. Kesimpulan saya paper Sheldon Axler ini memberikan alternatif yg cukup menarik dalam pembahasan aljabar linear, dan menurut saya pendekatan melalui determinan atau tanpa determinan bebas dipilih bergantung pada keperluan komputasi dan aplikasi saja.

    Sekian dan maaf kalau ada yg kurang jelas atau tdk berkenan.. =)

  9. Mawi Wijna says:

    Paper tersebut memang hanya menekankan pada Teorema bahwa setiap operator linier mempunyai nilai eigen. Lain halnya kalau paper tersebut membahas langkah demi langkah mencari suatu nilai eigen. Sebab kadang yang kita perlukan hanya teorema yang mengatakan adanya suatu sifat, sebagai dasar asumsi untuk suatu teorema lain.

    • Aria Turns says:

      Paper tersebut berbicara tentang alajabar linier tanpa determinan dengan nilai eigen sebagai fondasinya. Semua buku alajabar linier mengatakan bahwa untuk mencari nilai eigen kita butuh determinan. Menurut saya adalah hal yang aneh jika paper itu tidak menuliskan bagaimana mencari nilai eigen tanpa determinan. Bagaimana kita bisa membangun alajabar linier tanpa determinan dengai nilai eigen sebgai dasarnya tanpa mengetahui cara mencarari nilai eigen tanpa menngunakan determinan?

      • zakimath says:

        Coba baca buku Matrices over Commutative Rings (Brown, 1993), sepertinya definisi nilai Eigen tidak ada hubungan dg determinan. Memang selama ini cara yg umum untuk mencari nilai eigen adalah dg determinan, tapi tidak ada ketentuan yg baku seperti itu… Apalagi jika konsep bahasannya dilakukan atas ring sebagai modul, tidak sekedar aljabar linear (ruang vektor atas field).

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s