Fibonacci, rumus binet dan aljabar linier

Saya yakin sudah familiar dengan bilangan Fibonacci atau disebut juga deret fibonacci. Suatu pola bilangan yang sederhana pada matematika tetapi ajaibnya pola tersebut banyak muncul di alam. Semua berawal dari 0 dan 1 lalu bilangan berikutnya merupakan hasil penhumlahan 2 bilangan sebelumnya

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Bagaimana kita mencari bilangan ke-1000? atau ke-505? Untuk mencari bilangan ke-n dari bilangan fibonacci kita menggunakan rumus binet. Rumus tersebut berkata.

{\displaystyle F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)}

Ada beberapa cara untuk membuktikan rumus tersebut, dengan rekursif, dengan induksi dll. Sahabat saya Hendry Dext telah menuliskan pembuktian rumus binet. Saya juga mau membuktikan rumus binet tetapi dengan metode yang berbeda dengan Hendry. Saya akan menggunakan aljabar linier.

Pertama-tama kita akan membentuk sistem persamaan linier dengan 2 persamaan. Kita tahu bahwa suku ke n+2 fibonacci merupakan penjumlahan dari suku  ke n+1 dan suku ke n. Kita peroleh persamaan yang pertama  F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. Selanjutnya kita butu persamaan ke-2, cukup persamaan sederhana F_{n+1}=F_{n+1}+0. Kita peroleh sistem persamaan linier

F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}

F_{n+1}=F_{n+1}+0

Jika sistem persamaandiatas diubah ke dalam persamaan matriks, diperoleh

\left[\begin{array}{c}F_{n+2}\\F_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}F_{n+1}\\F_{n}\end{array}\right]

Oya sebelumnya notasi F_n merupakan suku ke-n dari fibonacci dengan F_0=0 dan F_1=1.

Jika kita notasikan U_{n+1}=\left[{F_{n+2}\atop F_{n+1}}\right], A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right] dan U_{n}=\left[{F_{n+1}\atop F_{n}}\right]. Kita peroleh aturan dalam fibonacci

U_{n+1}=AU_{n}

Nah sekarang mari kita mulai menghitung

Jadi diperoleh rumus umum

u_n=A^nu_0

\left[{F_{n+1}\atop F_{n}}\right]=A^{n}\left[{1\atop 0}\right]

Nah..sekarang pertanyaannya adalah bagaimana menghitung pangkat ke-n dari matriks A secara cepat?

Cara cepatnya adalah dengan menggunakan 2 matriks spesial S dan P. Matriks P adalah matriks diagonal yang memuat nilai-nilai eigen dari matriks A

P=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0\\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]

Sedangkan matriks S adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen dari A.

S=\left[v_{1}\, v_{2}\right]

diperoleh

A=SPS^{-1}

Berdasarkan persamaan diatas, dengan mudah kita dapet menghitung A^2

A^2=SPS^{-1}SPS^{-1}

A^2=SPIPS^{-1}

A^2=SP^2S^{-1}

Karena P merupakan matriks diagonal maka P^2=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}^2 & 0\\ 0 & \lambda_{2}^2\end{array}\right]

Dengan cara sama kita mendapatkan A^3=SP^3S^{-1}, dengan P^3=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}^3 & 0\\ 0 & \lambda_{2}^3\end{array}\right]

Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus mencari pangkat ke-n dari matriks A adalah

A^n=SP^nS^{-1}

Nah sekarang berapa vektor eigen dan nilai eigen dari A. Saya tidak akan melakukan perhitungan disini. Nilai egin dari A adalah \lambda_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} dan \lambda_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}. Sedangkan vektor eigennya adalah v_{1}=\left[{\lambda_{1}\atop 1}\right] dan v_{2}=\left[{\lambda_{2}\atop 1}\right]. Silahkan kalain cek sendiri Av_1=\lambda_{1}v_1 dan Av_2=\lambda_{1}v_2 .

Kita peroleh

S=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & \lambda_{2}\\1 & 1\end{array}\right]

dan

S^{-1}=\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & -\lambda_{2}\\-1 & \lambda_{1}\end{array}\right]

Itu berarti kita peroleh

u_n=A^nu_0.

u_n=SP^nS^{-1}\left[{1\atop 0}\right]

u_{n}=SP^{n}\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{1\atop -1}\right]

u_{n}=S\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{\lambda_{1}^{n}\atop -\lambda_{2}^{n}}\right]

u_{n}=\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{\lambda_{1}^{n+1}-\lambda_{2}^{n+1}\atop \lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}\right]

\left[{F_{n+1}\atop F_{n}}\right]=\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{\lambda_{1}^{n+1}-\lambda_{2}^{n+1}\atop \lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}\right]

Catetan: \lambda_{1}-\lambda_{2}=\sqrt{5}

Akhirnya kita dapat

F_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda_{1}^{n+1}-\lambda_{2}^{n+1}\right)

F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}\right)

Viola we got binet’s formula

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

47 Responses to Fibonacci, rumus binet dan aljabar linier

  1. Siti Marfuah says:

    maaf mau tanya, kenapa ketika sudah dapat matriks P dan S, diperoleh A = SPS^-1 ?

  2. rahmalia says:

    ada enggak cara menghitung lingkar tubuh manusia dengan rumus fibonancci??

  3. insan says:

    aslmlkm mas…
    mas mau nanya nee…saya mencari jurnal2 fibonacci dapat suku pertamanya 0 lalu 1,1,2,3,5, . . . .
    tp ada teman jari jurnal juga suku pertama lgsg 1 lalu 1,2,3,5, . . .
    jadi yang benertu yg mana mas..
    klw mas bilang kemaren suku pertamanya 0 kan..itu belum bisa untuk meyakinkan orglain mas,,,
    mas ada buku tak dlm bntk file mas..yg bener2 menyebutkan suku pertama 0,..
    karena klw udh ada di buku org baru percaya mas….tlg klw ada krm ke email
    insanwibawanto@yahoo.com

    • Aria Turns says:

      Saya kutip wikipedia

      The Fibonacci sequence is named after Leonardo of Pisa, who was known as Fibonacci. Fibonacci’s 1202 book Liber Abaci introduced the sequence to Western European mathematics,[4] although the sequence had been described earlier in Indian mathematics.[5][6][7] By modern convention, the sequence begins either with F0 = 0 or with F1 = 1. The Liber Abaci began the sequence with F1 = 1, without an initial 0.

  4. insan says:

    mas mengapa di asumsikan ( ar^n ) dalam pembuktian rumus binet dengan pendekatan geometri. bukannya klw barisan geometri tu ( ar^n-1 ) suku ke-n nya mas

    • Aria Turns says:

      Dalam pembuktian dengan mengunakan barisan geometri, diasumsikan F_{n}=ar^{n}.
      Mengapa bukan F_{n}=ar^{n-1}? Itu kan pertanyaanmu
      Nah…kita lihat saja apa yang terjadi jika diasumsikan F_{n}=ar^{n-1}?
      kita tahu suku pertama Fibonacci adalah 0, diperoleh
      F_{1}=0=ar^{1-1}=ar^{0}=a
      kita mendapatkan a=0 padahal a tidak boleh nol

      • insan says:

        oke deh mas…maksih banyak yaa . . .laen kali tanya lagi mas…hehe….

      • insan says:

        mas suku pertama bukannya 1 mas,,,,kan n itu menyatakan bulan.
        bulan pertama ( n=1),klw n=0 itu kan mula2 sebelum kelinci di letakkan di padang rumput mas . ..
        tolong penjelasannya ya mas . . .

        • Aria Turns says:

          penjelasan saya sebelumnya memang kurang tepat jd membuatmu bingung
          Ya fiboncci dimulai dari sukuk e-0 akan tetapi jika mengunakan pembuktian dengan pendekatan geometri.
          Kita mengasumsikan fibonacci adalah barisan geometri, barisan geometri dimulai suku ke-1 maka dalam pembuktian dengan pendekatan geometri, suku pertama fibonacci adalah 0

  5. insan says:

    mas..lagi2 nanya ne..
    klw saya baca mas..pembuktian rumus binet dengan pendekatan secara geometrik…itu di asumsikan ( ar^n ) mengapa mas…padahal suku ke-n pada barisan geometri tu ( ar^n-1 ) tolong penjelasannya ya mas..
    makasih banyak..

  6. ana says:

    askum,,mas ada referensi tentang k-fibonacci numbers gak??kalo ada tlong d email k arrahma478@gmail.com.makaasih mas 😀

  7. insan says:

    ok..makasih mas…rupanya kalkulator maen juga ya mas…heheh..

  8. insan says:

    mas..rumus binet kan utk mencari suku k n…..
    tp kle kita cari suku umpamanya ke 200…itukan lama juga..soalnya dia ada tanda akarnya juga.jd sebenarnya fungsi rumus binet tu penggunaannya seperti apa.

  9. insan says:

    mas kalau teman mas yg namanya hendry tu seperti apabuktikannya?
    bisa minta file tentang fibonacci mas..

  10. Roja says:

    bagaimana cara mengerjakan contoh ini ???
    seorang pengusahamaterial mengangkut 120 ton barang dari gudang A ke gudang B. untuk keperluan ini sekurang-kurangnya diperlukan 50 kendaraan truk yang terdiri dari truk jenis 1 dengan kapasitas 3 ton dan truk jenis 2 dengan kapasitas 2 ton. biaya sewa jenis truk 1 adalah Rp. 50,000.- dan truk jenis 2 adalah Rp. 40,000.-.
    pertanyaannya ,,,,
    berapa masing-masing jenis truk yang harus disewa agar biayanya minimum, dan berapa besarnya biaya yang dikeluarkan???

    saya tidak mengerti caranya gimna untuk menyelesaikan ini,
    oleh karena itu saya mau tau bagai mana cara untuk mengerjakan ini, trima kasih

  11. skyburn says:

    gimana kalo d buktiin pake program,, kok malah hasil dari suku ke-3 = “4” bukannya “2”… apakah program di komputer bisa berbohong atau memang adanya kesalahan??
    di bahasa C = 1/sqrt(5)*(pow((1+sqrt(5)/2),a))-(pow((1-sqrt(5)/2),a)) = 1/√5 (((1+ √5)/2)^2 – ((1- √5)/2)^2) (http://goo.gl/Rk0xf)
    🙂 Thx..

  12. salam kenal mas aria, saya orang yang ingn seal belajar matematika. Saya ingin tahu bagaimana menentukan jumlah suku ke – n suatu deret. Misalnya menentuan jumah deret pada pola barisan persegi. tks sebelumnya

  13. Ahmat says:

    PUSING ANE !!!!!!!!!!

  14. putri cahyani agustine says:

    aslkm…mau tnya…
    lo pmbktian fibonnanci dengan rumus binet gmn y mas..???
    bs mnta tlg d krm ke email saya poe_pucca@yahoo.co.id….
    tlg ya mas saya butuh skali…mksh nyk sblmny….

  15. fhat says:

    kasih contoh donc…..

    pola FIBONACCI yg muncul di alam…!!
    thx b4.

  16. Iwan says:

    Terima kasih atas penjelasannya.
    Suwun bro.

  17. bahrum says:

    pengen nanya tentang integral donk,
    integral dari 1/ln (x) dx apaan yah?? tlng beserta penjelasannya yah….. makasih…..

  18. yant says:

    Mas.. ada refrensi lain gak klo barisan fibonacci itu di generalisasi sampe derajat n (penjumlahan bilanganx gak hanya 2 bil sebelumx tp lebih) ??

  19. dani says:

    Halaman ini ada LaTeX-nya ya? Sintaks teks tanpa gambarnya masih sulit dimengerti jika browsing tanpa gambar. Selain MathML (memang masih terlalu sulit), LaTeX (plus bantuan plugin dan modul widget lain) dan capture-crop image (paling sederhana), apakah ada cara lain menampilkan sintaks matematika seperti di atas?

  20. Anwar Mutaqin says:

    Wah keren, makasih. Soal tentang itu ada juga di buku kalkulus.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s