Kali ini saya mau kembali membahas salah satu dari 7 millennium problem, Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture), untuk mempermudah kita singkat saja menjadi BSD. BSD adalah masalah pada kurva elliptik (elliptic curve). Di sini saya tidak akan menjelaskan mengenai kurva elliptik. Jadi buat kalian yang tidak tahu apa itu kurva elliptik, silahkan belajar sendiri aja yach, kalian bisa tanya mbah google.

Diberikan kurva elliptik dengan . Himpunan titik-titik

mempunyai struktur grup abelian. Didefinisikan , jika adalah titik-titik yang colinier di , dan invers adalah .

Teorema (mordell-Weill): Grup , grup titik-titik rasional atas kurva elliptik adalah grup abelian yang dibangun secara berhingga (finitely generated abelian group) maka

untuk suatu grup abelian berhingga dan suatu bilangan bulat non-nehatif yang disebut rank.

Simbol adalah direct sum.

Nah.. yang jadi pertanyaan bagaimana cara kita menghitung ?

Inilah yang coba dijawab oleh BSD. Pada awal tahun 1960an Bryan Birch dan Peter Swinnerton-Dyer membuat rumusan

adalah banyaknya solusi mod prima. Dengan bantuan komputer yang disebut EDSAC, mereka menemukan dugaan

Dengan

adalah suatu konstanta

adalah rank dari kurva elliptik

adalah bilangan prima yang tidak membagi  dengan adalah determinan kurva elliptik 

Dugaan inilah yang disebut Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer (BSD) tetapi persamaan diatas bukan definisi formal dari BSD. Definsi formal dari BSD menggunakan Hasse-Weil L-function atas kurva elliptik.

Defisnisi Formal BSD

Didefinisikan atau dengan kata lain . Didefiniskan Hasse-Weil L-function atas

Dengan bilangan prima yang tidak membagi dan . Jika kita ambil diperoleh

Teorema (Hesse): fungsi merupakan fungsi yang analytic continuation untuk semua

Nah barulah sekarang kita bisa menuliskan BSD dalam definisi formal

Dugaan BSD: Ekspensi taylor pada untuk mempunyai bentuk

dengan dan adalah rank dari .

JIka BSD terbukti benar maka berakibat:

1. berelemen tak hingga jika hanya jika . Jadi dengan BSD kita dengan mudah mngetahui apakah sebarang kurva elliptik mempunyai solusi pada bilangan rasional yang berhingga atau tak hingga
2. Memudahkan kita menemukan pembangun (generator) dari sebarang
3. Menyederhanakan pembuktian teorema terakhir fermat. Teorema terakhir fermat dibuktikan oleh wiles setebal 109 halaman. Dengan BSD maka hanya dibutuhkan mungkin paling banyak 10 halaman
4. Menjawab hipotesis riemann?? beberapa matematikwan meyakini bsd merupakan kunci untuk memecahkan hipotesis riemann, sebelum kita memecahkan hipotesis riemann kita harus memecahkan bsd terlebih dahulu.