Pembuktian yang pertama

Posted on February 14, 2010 by Nursatria

Banyak Matematikawan yang percaya bahwa pembuktian matematika yang pertama kali ada, dilakukan oleh Euclid, 200 sm. Dia membuktikan

ada tak hingga banyaknya bilangan prima

Metode pembuktian yang digunakan Euler adalah kontradiksi

Bukti

Andaikan bilangan prima jumlahnya berhingga, p_{1}=2<p_{2}=3<p_{3}=5<\ldots<p_{r} adalah semua bilangan prima. Diperoleh N=p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{r}+1 hasil perkalian semua bilangan prima plus 1. Jelas tidak ada satupun dari p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r} yang membagi N. Itu berarti terdapat bilang prima lain p yang merupakan faktor dari N dan bukan salah satu dari p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r}. Padahal diketahui p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r} adalah semua bilangan prima. Kontradiksi

Banyak orang yang salah kaprah yang beranggapan N=p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{r}+1 merupakan bilangan prima baru. Bukan, bukan demikian, tetapi N mempunyai faktor prima p yang bukan salah satu dari p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r},

Contoh, andaikan bilangan prima hanyalah 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan 17  Diperoleh 510511=2×3×5×7×11×13×17+1, jelas 510511 tidak dapet dibagi oleh 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan 17. Karena 510511 akan selalu menyisakan 1 jika kita membaginya dengan sebarang bilangan-bilangan tersebut (2, 3, 5, 7, 11, 13 dan 17). Apakah 510511 prima? tidak, 510511=19x97x277.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian, Teori Bilangan and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

13 Responses to Pembuktian yang pertama

  1. Pingback: Pembuktian Bilangan Komposit | Aria Turns

  2. Aleams says:
    May 7, 2011 at 04:25

    Berikut adalah artikel yang menarik yang menunjukkan bahwa bukti Euclid yang original ternyata bukan dengan kontradiksi.

    http://www.mediafire.com/?1p45dcb6gunc58n

    Reply
  3. Aleams says:
    May 7, 2011 at 04:07

    Ternyata saya juga melakukan kesalahan :). Jadi abaikan pernyataan saya di atas.

    Saya pikir bukti ketakhinggaan bilangan prima lebih baik dilakukan dengan bukti langsung (bukan dengan kontradiksi) yakni dengan membuktikan bahwa kita bisa selalu menambahkan bilangan prima baru ke daftar yang sudah ada.

    Misalkan p_1,\ldots, p_n merupkan n buah prima. Tuliskan N=p_1\cdots p_n+1. Maka N prima atau N mempunyai factor prima lain p. Jika N prima, kita bisa memasukan N ini ke daftar yang sudah ada. Jika N bukan prima dan memiliki factor prima lain p, bilangan p ini tidak berada didaftar bilangan prima yang sudah ada. Artinya kita bisa menambahkan bilangan prima p ke daftar yang sudah ada.

    Dengan cara ini kita bisa selalu menambahkan bilangan prima baru ke dalam daftar. Artinya ada tak hingga banyaknya bilangan prima.

    Reply
  4. Aleams says:
    May 7, 2011 at 03:21

    Dengan asumsi bahwa bilangan prima hanyalah p_1,\ldots,p_n bilangan N=p_1\cdotsp_n+1 memang bilangan prima (karena hanya mempunyai faktor 1 dan dirinya sendiri).
    Tapi ini akan menimbulkan suatu keabsurdan, jadi tidak mungkin ada berhingga banyaknya bilangan prima.

    Contoh yang anda berikan tidak tepat karena pertama kita harus mengasumsikan bahwa 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan 17 adalah semua bilangan prima yang ada.

    Dalam konteks ini 19 ,97 dan 277 tidak kita anggap bilangan prima karena tidak termuat dalam daftar bilangan di atas.

    Reply
  5. Q-Are says:
    May 4, 2011 at 16:32

    kl pembuktian ini yg kedua n ketiga ada ga Ka??
    kl ada blh mnta linkx,, ^_^ pengen baca2 lagiii ^_^

    Reply
  6. rieny sulastry says:
    October 8, 2010 at 15:29

    salam,…
    oya, mo nanya ne kq pembuktian sifat-sifat barisan konvergen geana yahhh??
    thx before,..:)

    Reply
  7. Herry Pribawanto S says:
    February 24, 2010 at 21:48

    mas Aria, saya kurang begitu paham terkait pembuktian yang dianggap valid dan tidak valid oleh matematika modern.. mohon pencerahannya.. seingat saya konsep pemfaktoran bilangan asli ke secara tunggal ke dalam faktor-faktor prima ini yang memotivasi munculnya teori UFD (daerah faktorisasi tunggal) di dalam teori ring.. tolong dikoreksi kalau salah, maklum sdh lama sekali saya tdk belajar aljabar, jd bnyk yg lupa.

    Reply
    • Aria Turns says:
      February 25, 2010 at 10:01

      Teorema fundamental aljabar berkata
      1. setiap bilangan dapat dipecah menjadi faktor2 prima
      2.faktor2 prima dari suatu bilangan adalah unik. Artinya jika A dan B himpunan faktor2 prima dari suatu bilangan maka A=B

      Euclid hanya mampu membuktikan poin 1 saja. Saya ralat pembuktian euclid bukan tidak valid, tapi tidak lengkap.

      Reply
  8. winky says:
    February 15, 2010 at 00:40

    ehhmm…berarti harus dibuktikan dulu bahwa setiap bilangan punya faktor prima dunk???dan berarti ini bukan pembuktian pertama dunk??ato gimana sih??jadi bingung..hehe

    Reply
    • Aria Turns says:
      February 15, 2010 at 07:22

      Teorema fundamental aritmatika merupakan pernyataan yang termuat pada buku 7 euclid element sedangkan “ada tak hingga banyaknya bilangan prima” termuat pada buku 9 euclid element.
      Artinya euclid telah membuktikan bahwa setian bilangan mempunyai faktotr prima (Teorema fundamental aritmatika) tetapi pembuktiannya dianggap tidak valid oleh matematika modern, Sedangkan pembuktian “ada tak hingga banyaknya bilangan prima” dianggap valid matematika modern,

      Reply
  9. Damar says:
    February 14, 2010 at 16:55

    OOO…..alah! Ternyata selama ini saya juga keliru memahami itu. Pantesan kalo makan gorengan kerongkongan saya terasa ada yang nyangkut ……he…..heeeeee. Tapi setelah tahu ini, saya bisa makan gorengan seperti biasa!Makasihh …….tulisannya bagus-bagus

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s