Modul

Sejak SMA kita sudah belajar menegenai ruang vektor. Boleh dibilang (hampir) semua cabang matematika bersentuhan dengan ruang vektor. Buat kalian yang belajar aljabar (abstrak) pastinya tahu kalau ruang vektor didefinisikan.

Definisi: Diberikan sutu lapangan $R$ , ruang vektor atas lapangan $R$ adalah suatu grup abelian (operasi penjumlahan) $V$ yang dilengkapi dengan perkalian skalar, yaitu suatu fungsi $R\times V\rightarrow V$ dinotasikan $\left(a,v\right)\rightarrow av$ yang mempunyai aksioma sebagai berikut

$a\left(u+v\right)=au+av$
$\left(a+b\right)v=av+bv$
$\left(ab\right)v=a\left(bv\right)$
$1v=v$

Untuk semua $a,b,1\in R$ dan untuk semua $u,v\in V$ .

Para Matematikawan penasaran apa yang akan terjadi jika $R$ bukanlah lapangan melainkan suatu gelanggang (ring), apa yang akan terjadi jika $R$ diperlemah menjadi gelanggang. Nah jika $R$ adalah gelanggang maka kita menyebutnya $R$ -modul. Jadi bisa dikatakan modul adalah ruang vektor atas gelanggang $R$ . Meskipun modul dan ruang vektor hanya berbeda pada struktur aljabar di $R$ . Pada ruang vektor, $R$ adalah lapangan sedangkan pada modul, $R$ adalah gelanggang. Ajaibnya ruang vektor dan modul mempunyai sifat yang jauh berbeda. Salah satu contohnya setiap ruang vektor mempunyai basis tetapi tidak demikian dengan modul, ada modul yang tidak mempunyai basis. Andaikan suatu modul mempunyai basis, bisa saja 2 basis yang berbeda mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Nah..modul juga bisa dipandang sebagi generalisasi grup abelian. Karena sebenarnya setiap grup abelian adalah $\mathbb{Z}$ -modul. Ambil $A$ grup abelian, Untuk setiap bilangan positif $n\in\mathbb{Z}$ didefinisikan $na=\sum_{i=1}^{n}a$ . Jika $n=0$ didefenisikan $na=0$ dan jika $n<0$ didefiniskan $na$ adalah invers (dalam $A$ ) dari $-na$ .

Yang menarik setiap gelanggang $R$ adalah modul atas dirinya sendiri. Sebarang gelanggang $R$ merupakan $R$ -modul, jika kita mendefinisikan perkalian skalar $R\times R\rightarrow R$ sebagai perkalian antar elemen di $R$ . Secara umum setiap ideal $I$ dalam gelanggang $R$ merupakan $R$ , jika setiap $i\in I$ dan setiap $r\in R$ berlaku $ri\in I$ .

Salah satu dosen saya Dr. Indah Emilia Wijayanti merupakan pakar modul. Setiap mahasiswa yang bimbingan skripsi dengan beliau pastilah mengenai modul atau paling tidak ada hubungannya dengan modul

Note: Dalam modul aksioma $1v=v$ tidak harus ada. Karena kita tahu tidak semua gelanggang mempunyai elemen 1. Modul yang mempunyai aksioma tersebut dikatakan modul unital

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

9 Responses to Modul

Budi Santoso says:

October 18, 2012 at 14:24

Terimakasih ya, kak. Tulisannya sangat membantu..

juli lestari says:

January 11, 2012 at 15:42

Met sore k zaki n k niken, makasih banyak ya atas penjelasannya…. Udah lama juli nanya ma tman2 FKIP MTK ttg aplikasi gelanggang tp pada g tw. Ternyata, aplikasi dari gelanggang tu adanya di ilmu komputer ya…

Kak, juli minta penjelasannya lagi ttg aplikasi gelanggang ya terutama subring atw anak gelanggang….:) Please, ya king of math..:)

zakimath says:

March 17, 2010 at 19:22

Modul itu juga bisa dipandang sebagai “aksi” Tet… Yaitu suatu ring yg beraksi pada grup abelian.

Wah, mengenai koaljabar itu seperti kebalikan dari aljabar, jadi seperti dekomposisi operasi gitu iya kan Ken? hehe… Kalo di aljabar kan operasinya dari banyak menjadi sedikit, tapi kalo di koaljabar dari sedikit menjadi banyak… Nanti sifat-sifatnya jadi seperti saling berkebalikan… Aplikasi dari koaljabar banyak di ilmu komputer lho Tet… Tapi pusing karena butuh teori kategori dan fungtor! CMIIW

- nikkenprimapuspita says:
  
  March 18, 2010 at 08:09
  
  Yang dipandang aksi itu operasinya to mas zaki? sebenernya aksi itu sama dg nama yang sering kita kenal yaitu operasi pergandaan sklar anatara ring dan Grup Abel, bisa aksi kiri atau kanan. Jadi kalo dalam Modul ada aksi kalo di komodul ada koaksi…
  
  Bener tu mas zaki butuh belajar kategori dan fungtor buat belajar koaljabar karena pembahasanya pakai bahasa fungtor dll. Kalo di Aljabar (Ring) harus ad pergandaan (multiplikasi) kalo di koaljabar harus ada komultiplikasi yang membawa elemen2 C ke CxC…
  
  Wah aplikasinya banyak y mas ? Salah satu contohnya aplikasinya ap ya?hehe
  
  - zakimath says:
    
    March 18, 2010 at 16:08
    
    Iya, maksudnya aksi itu pergandaan skalarnya… Aplikasi dari Koaljabar di Ilmu Komputer itu dapat ditemukan di bahasa automoata, semantic programming, formal testing, state-based system, dsb…
    
NikkenPrima says:

March 17, 2010 at 08:30

Koreksi sedikit ya tet, u dan v elemen V (mungkin salah ketik). Kemudian, yang benar adalah Ruang Vektor merupakan modul atas lapangan F dan tidak bisa dikatakan Modul adalah Ruang Vektor atas Lapangan karena Ruang Vektor butuh seseuatu yg lebih kuat.

Setiap Grup Abelian (A,*) memang merupakan Modul atas bilangan bulat, tetapi definisi perkalian skalar na=a*a*a* ……..*a, hingga n kali bukan hanya sekedar jumlahan dari a hingga n kali, karena operasi elemen a tergantung pada operasi biner himpunan A (tidak selalu jumlahan).

Terakhir, Sebuah modul atas gelanggang dengan elemen satuan 1 mungkin saja menjadi modul non-unital karena tidak memenuhi aksioma unit. Jadi gelanggang dengan elemen satuan pun tidak menjamin sebuah modul disebut modul unital.

O ya Perumuman dari Ruang vektor ke modul juga terjadi pada struktur Koaljabar menjadi Koring kemudian Koring Lemah Lho…hehe

- Aria Turns says:
  
  March 17, 2010 at 10:40
  
  WEitz… saya merasa merasa terhormat penerusnya bu Indah memberikan komen pda tulisan yang jelak ini 🙂
  Oya..emang salah tulis
  Lha..menurut buku modern Algebra, Rotman “An R-module is just a “vector space over a ring R”;
  operasi “penjumlahan” yang saya maksud kan emang operasi biner pada pada A
  Oh..gitu yach jadi gelanggang R yang punya unit belum tentu R-modul unit bara tau saya..
  Koaljabar, koring itu makanan apa yach 😀
  
  - nikkenprimapuspita says:
    
    March 17, 2010 at 13:25
    
    Halaah…mas tetet bisa aj, kebetulan td gak sengaja ketemu blog ini eh pas topiknya saya suka.hehe
    
    Ehm…Kalo di buku Rotman mungkin berbeda pemahaman yang dimaksud bahwa modul merupakan perumuman dari ruang vektor dengan mengganti lapanganya menjadi sebarang ring.
    
    Kalo yang saya pahami dan kita pelajari Ruang vektor atas lapangan (seperti yg tetet tulis), apa ring itu lapangan? Jadi Untuk setiap Ruang vektor V atas Lapangan F karena lapangan pasti merupakan ring dan V grup Abel, maka V dapat dipandang sebagai Modul atas Lapangan F bahkan bisa jadi Bimodul (sebab F ring komutatif)
    
    O… soalnya sebelumnya tidak disebut operasi biner di A. 🙂
    
    Yup, saya sudah pernah menemukan contohnya..
    
    Koaljabar dan Koring bisa dikatakan sebagai dual dari struktur2 yang sudah kita kenal d PSA dulu tet…hehe
    
  - Budi Santoso says:
    
    October 18, 2012 at 14:41
    
    sebenarnya penjelasannya mudah dipahami, tapi mumet duluan. hhe. terimakasih atas penjelasannya.