lapangan perluasan

Posted on March 24, 2010 by Nursatria

Lapangan perluasan (Field Extension) adalah cara memperluas suatu lapangan.  Lapangan perluasan atau perluasan dari lapangan K adalah suatu lapangan E dengan K adalah sublapangan dari E. Dinotasikan E:K beberapa literatur menotasikan E/F.

Contoh 1: Himpunan bilangan kompleks \mathbb{C} merupakan lapangan perluasan dari himpunan bilangan real \mathbb{R}. Begitupula \mathbb{R} merupakan lapangan perluasan dari himpunan bilangan rasional \mathbb{Q}

Lapangan perluasan dari Lapangan K bisa juga didefinisikan sebagai lapangan F yang terdapat homomorfisma \varphi:K\rightarrow F. Dua definisi tersebut ekuivalen berdasarkan isomorfisma, Jika K adalah sublapangan dari E dan E\cong F maka terdapat homomorfisma K ke F. Sebaliknya jika \varphi:K\rightarrow F adalah homomorfisma maka Im\,\varphi\cong K merupakan sublapangan dari F, terdapat juga lapangan E\cong F sedemikian hingga K merupakan sublapangan dari E.

Derajat

Lapangan perluasan E dari lapangan K bisa dipandang sebagai ruang vektor atas K

Teorema 1: Lapangan perluasan E:K merupakan ruang vektor E atas K

Karena E:K bisa dipandang sebagai ruang vektor, itu berarti E mempunyai dimensi. Nah dimensi didalam lapangan perluasan disebut derajat, dinotasikan \left[E:K\right]

Contoh 2: \left[\mathbb{C}:\mathbb{R}\right]=2 dan \left[\mathbb{R}:\mathbb{Q}\right] tak hingga

Lapangan perluasan E:K dikatakan berhingga jika derajatnya berhingga, atau disebut juga E berhingga atas K, bukan berati banyaknya elemen E berhingga lho.

Perluasan Sederhana

Kita tahu bahawa irisan suatu lapangan dengan lapangan adalah lapangan pula. Diberikan E:K dan S himpunan bagian dari S. Irisan dari semua sublapangan dari E yang memuat K dan S merupakan sublapangan terkecil yang memuat K dan S. Irisan tersebut dinamakan lapangan bagian yang dibangun oleh K dan S

Definisi: Lapangan perluasan E:K dikatakan dibangun secara berhingga jika E=K\left(s_{1},s_{2}\ldots s_{n}\right) untuk suatu s_{1},s_{2}\ldots s_{n}\in S dan dikatakan sederhana jika E=K\left(s\right) untuk suatu s\in S

Teorema selanjutnya akan menjelaskan bagaimana lapanganga perluasan sederhana dikontruksikan.

Teorema 2: Diberikan lapangan K dan E=K[x]/q(x) dengan q(x)\in K[x] adalah polinomial monik iredusibel berderajat n dengan q\left(\alpha\right)=0 untuk suatu \alpha\in E maka berlaku

1) E adalah lapangan perluasan sederhana dengan E=K\left[\alpha\right]=K\left(\alpha\right).

2) E mempunyai basis 1,\alpha,\alpha^{2}\ldots\alpha^{n-1} dengan n derjat dari polinomial q(x) dan \left[E:K\right]=n.

Teorema 2 menunjukan bahwa setiap polinomial iredusibel q\left(x\right) atas K mempunyai akar \alpha pada suatu lapangan perluasan sederhana dari K dengan lapangan perlusan sederhana tersebut dikontruksikan dengan menggabung \alpha ke K.

Polinomial iredusibel q\left(x\right) pada Teorema 2 dinotasikan Irr_{K}\left(a\right) yang berarti berkoefisien di K dan mempunyai akar a dengan a merupakan suatu elemen pada lapangan perluasan dari K.

Contoh 3: Ambil \mathbb{R} dan diketahui Irr_{\mathbb{R}}\left(i\right)=x^{2}+1 dengan i=\sqrt{-1} maka menurut Teorema 2 diperoleh \mathbb{C}=\mathbb{R}\left[X\right]/Irr_{\mathbb{R}}(i)=\mathbb{R}\left(i\right).

Contoh 3 menunjukan bagaimana himpunan bilangan kompleks \mathbb{C} dibangun dengan menggunakan Teorema 2. Selanjutnya akan dicontohkan bagaimana mengkontruksi lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga.

Contoh 4: Akan dikontruksikan \mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right):\mathbb{Q}. Pertama-tama akan dikontruksikan \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right):\mathbb{Q}, diketahui Irr_{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{2}\right)=x^{2}-2 maka berdasarkan Teorema 2 diperoleh \left[\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right):\mathbb{Q}\right]=2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) mempunyai bentuk a+b\sqrt{2} dengan a,b\in\mathbb{Q}. Selanjutnya diambil T=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) akan dikontruksikan T\left(\sqrt{3}\right). Diketahui Irr_{T}\left(\sqrt{3}\right)=x^{2}-2 maka berdasarkan Teorema 2 diperoleh \left[T\sqrt{3}:T\right]=2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam T\left(\sqrt{3}\right) mempunyai bentuk x+y\sqrt{3} dengan x,y\in T. Padahal diketahui elemen di T mempunyai bentuk a+b\sqrt{2}, itu berarti x=a_{0}+b_{0}\sqrt{2},y=a_{1}+b_{1}\sqrt{2}\in T dengan a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}\in\mathbb{Q}. Diperoleh

x+y\sqrt{3}

\left(a_{0}+b_{0}\sqrt{2}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\sqrt{2}\right)\sqrt{3}

a_{0}+b_{0}\sqrt{2}+a_{1}\sqrt{3}+b_{1}\sqrt{6}\in T\left(\sqrt{2}\right)

Jadi elemen-elemen di T\left(\sqrt{2}\right)=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)
Jika kita mempunyai suatu lapangan K dan S himpunan akar-akar dari polinomial irudusibel di K maka kita bisa mengkontruksikan suatu lapangan yang memuat  K dan S. Nah.. lapangan inilah yang dikatakan lapangan perluasan.
Note:
Notasi K\left[\alpha\right] hampir serupa dengan notasi K\left(\alpha\right). Jika K\left(\alpha\right) adalah lapangan maka K\left[\alpha\right] adalah gelanggang

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to lapangan perluasan

  1. unknown says:
    December 26, 2013 at 15:17

    gomen kudasai (permisi).. mas ada ndak field yang dibangun oleh himpunan matriks? kalo emang ada, ada referensi ndak yag bagus buat saya baca.. hehe

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s