Bola tidak selalu bundar

Posted on May 7, 2010 by Nursatria

Kita pasti sering mendengar kalimat “Bola itu bundar” padahal dalam matematika bola tidak selalau bundar lho. Ah.yang benar?

Jarak

Nah..pertama-tama saya akan menjelaskan apa itu jarak dalam matematika. Apa yang kita ketahui tentang jarak? Jarak itu non-negatif, jarak dua buah titik bisa saja nol tapi tidak mungkin negatif ya kan?. Kita notasikan jarak titik A ke titik B dengan  d(A,B). Jika d(A,B)=0 dengan mudah kita pahami itu artinya A=B, kedua buah titik tersebut merupakan titik yang sama. Dengan mudah kita pahami d(A,B)=d(B,A), jarak titik A ke titik B akan selalu sama denagn jarak  titik B ke titik A. Misalkan dari titik A ke titik B melalaui titik lain, titik C, maka ada 2 kemungkinan d(A,B)=d(A,C)+d(C,B) atau d(A,B)<d(A,C)+d(C,B).

Ya..dari apa yang telah kita bahas bisa kita simpulkan jarak adalah

Diberikan sebarang himpunan tak kosong X

i) Fungsi d:\; X\;\times\; X\rightarrow\mathbb{R} yang memenuhi sifat-sifat

  • d(x,y)\geq0 unntuk setiap x,y\in X
  • d(x,y)=0 jika hanya jika x=y
  • d(x,y)=d(y,x) untuk setiap x,y\in X dan
  • d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z) untuk setiap x,y,z\in X

disebut Metrik (metric) atau jarak (distance).

ii) Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X,d) disebut ruang metrik (metric Space).

Jadi jarak secara matematika merupakan fungsi yang memenuhi point-point diatas.

Contoh

Fungsi d:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}  didefinisikan

d\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}}.

Adalah jarak pada \mathbb{R}^{2} yang disebut jarak euclid pada \mathbb{R}^{2}

Kita juga bisa mendefinisikan jarak lain pada \mathbb{R}^{2}

d*\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\max\left\{ \left|a_{1}-b_{1}\right|,\left|a_{2}-b_{2}\right|\right\}

dengan \max\left\{ x,y\right\} adalah bilangan terbesar diantara 2 buah bilangan x dan y.

selain itu jarak pada \mathbb{R}^{2} bisa didefinisikan

d_{1}\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|

Bola

Nah..sekarang pertannya terpenting dalam postingan ini

apa itu bola menurut matematika?

Menurut matematika, bola adalah

Definisi: Diberikan ruang metrik (X,d), untuk sebarang a\in X dan konstanta real r>0, himpunan

B_{r}\left(a\right)=\left\{ x\in X:\, d\left(x,a\right)<r\right\}

dikatakan bola (terbuka) dengan titik pusat a dan jari-jari r

Berdasarkan definisi ini akan saya tunjukan bola tidak selamanya bundar.

Pada \mathbb{R} dengan jarak euclid, bola B_{r}\left(a\right) merupakan interval terbuka \left(a-r,a+r\right).

Pada \mathbb{R}^2 dengan jarak euclid, bola B_{r}\left(a\right) merupakan sebuah piringan dengan titik pusat a dan jari2 r

Pada \mathbb{R}^3 dengan jarak euclid, bola B_{r}\left(a\right) adalah bola yang kita kenal sehari -hari

Pada \mathbb{R}^2 dengan d*\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\max\left\{ \left|a_{1}-b_{1}\right|,\left|a_{2}-b_{2}\right|\right\} , bola B_{1}\left(\left\langle 0,0\right\rangle \right) berbentuk

Sedangkan pada \mathbb{R}^{2} dengan d_{1}\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right| bola B_{1}\left(\left\langle 0,0\right\rangle \right) berbentuk

Nh..jadi dalam matematika ungkapan “bola itu bundar” tidak selamanya tepat 🙂

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

1 Response to Bola tidak selalu bundar

  1. yacob-ivan says:
    May 12, 2010 at 18:45

    Bola yang ketiga itu bola di bidang taxicab. Jadi “bundar” yang dimaksud adalah bundarnya taxicab.

    Hanya saja yang dipakai dalam pertandingan di sepak bola adalah bola Euclid.

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s