Bola tidak selalu bundar

Kita pasti sering mendengar kalimat “Bola itu bundar” padahal dalam matematika bola tidak selalau bundar lho. Ah.yang benar?

Jarak

Nah..pertama-tama saya akan menjelaskan apa itu jarak dalam matematika. Apa yang kita ketahui tentang jarak? Jarak itu non-negatif, jarak dua buah titik bisa saja nol tapi tidak mungkin negatif ya kan?. Kita notasikan jarak titik A ke titik B dengan  d(A,B). Jika d(A,B)=0 dengan mudah kita pahami itu artinya A=B, kedua buah titik tersebut merupakan titik yang sama. Dengan mudah kita pahami d(A,B)=d(B,A), jarak titik A ke titik B akan selalu sama denagn jarak  titik B ke titik A. Misalkan dari titik A ke titik B melalaui titik lain, titik C, maka ada 2 kemungkinan d(A,B)=d(A,C)+d(C,B) atau d(A,B)<d(A,C)+d(C,B).

Ya..dari apa yang telah kita bahas bisa kita simpulkan jarak adalah

Diberikan sebarang himpunan tak kosong X

i) Fungsi d:\; X\;\times\; X\rightarrow\mathbb{R} yang memenuhi sifat-sifat

  • d(x,y)\geq0 unntuk setiap x,y\in X
  • d(x,y)=0 jika hanya jika x=y
  • d(x,y)=d(y,x) untuk setiap x,y\in X dan
  • d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z) untuk setiap x,y,z\in X

disebut Metrik (metric) atau jarak (distance).

ii) Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X,d) disebut ruang metrik (metric Space).

Jadi jarak secara matematika merupakan fungsi yang memenuhi point-point diatas.

Contoh

Fungsi d:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}  didefinisikan

d\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\sqrt{\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}}.

Adalah jarak pada \mathbb{R}^{2} yang disebut jarak euclid pada \mathbb{R}^{2}

Kita juga bisa mendefinisikan jarak lain pada \mathbb{R}^{2}

d*\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\max\left\{ \left|a_{1}-b_{1}\right|,\left|a_{2}-b_{2}\right|\right\}

dengan \max\left\{ x,y\right\} adalah bilangan terbesar diantara 2 buah bilangan x dan y.

selain itu jarak pada \mathbb{R}^{2} bisa didefinisikan

d_{1}\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|

Bola

Nah..sekarang pertannya terpenting dalam postingan ini

apa itu bola menurut matematika?

Menurut matematika, bola adalah

Definisi: Diberikan ruang metrik (X,d), untuk sebarang a\in X dan konstanta real r>0, himpunan

B_{r}\left(a\right)=\left\{ x\in X:\, d\left(x,a\right)<r\right\}

dikatakan bola (terbuka) dengan titik pusat a dan jari-jari r

Berdasarkan definisi ini akan saya tunjukan bola tidak selamanya bundar.

Pada \mathbb{R} dengan jarak euclid, bola B_{r}\left(a\right) merupakan interval terbuka \left(a-r,a+r\right).

Pada \mathbb{R}^2 dengan jarak euclid, bola B_{r}\left(a\right) merupakan sebuah piringan dengan titik pusat a dan jari2 r

Pada \mathbb{R}^3 dengan jarak euclid, bola B_{r}\left(a\right) adalah bola yang kita kenal sehari -hari

Pada \mathbb{R}^2 dengan d*\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\max\left\{ \left|a_{1}-b_{1}\right|,\left|a_{2}-b_{2}\right|\right\} , bola B_{1}\left(\left\langle 0,0\right\rangle \right) berbentuk

Sedangkan pada \mathbb{R}^{2} dengan d_{1}\left(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle ,\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle \right)=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right| bola B_{1}\left(\left\langle 0,0\right\rangle \right) berbentuk

Nh..jadi dalam matematika ungkapan “bola itu bundar” tidak selamanya tepat 🙂

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

1 Response to Bola tidak selalu bundar

  1. yacob-ivan says:

    Bola yang ketiga itu bola di bidang taxicab. Jadi “bundar” yang dimaksud adalah bundarnya taxicab.

    Hanya saja yang dipakai dalam pertandingan di sepak bola adalah bola Euclid.

Leave a Reply to yacob-ivan Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s