Ruang Topologi

Ruang Topologi

Kali ini saya mau membahas salah satu himpunan terstruktur yang ada pada Matematika yang disebut dengan ruang topologi. Sama seperti humpunan tersetruktur lainnya yang ada pada matematika seperti grup ataupun ruang vektor, ruang topologi adalah suatu himpunan tyang dilengkapi struktur, yang dilengkapi aturam-aturan. Apa saja aturan pada ruang topologi?

Definisi 1: Diberikan humpunan tak-kosong X, suatu koleksi \tau yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada X, jika memenuhi

(i) X dan himpunan kosong \emptyset termuat didalam \tau

(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di \tau termuat di \tau pula

(iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di \tau berada di \tau pula

Pasangan \left(X,\tau\right) dikatakan ruang topologi

Contoh

Diberikan X=\left\{ a,b,c,d,e,f\right\} dan

\tau_1=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,c,d\right\} ,\left\{ b,c,d,e,f\right\} \right\}

maka \tau_1 merupakan topologi pada X, karena memenuhi semua kondisi dari definisi 1

Diberikan X=\left\{ a,b,c,d,e,\right\} dan

\tau_{2}=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,c,e\right\} ,\left\{ b,c,d\right\} \right\}

maka \tau_{2} bukanlah topologi pada X karena gabungan \left\{ c,d\right\} \cup\left\{ a,c,e\right\} =\left\{ a,c,d,e\right\} dua himpunan di \tau_{2} tidak termuat di \tau_{2}. Itu artinya \tau_{2} tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1

Diberikan X=\left\{ a,b,c,d,e,f\right\} dan

\tau_{3}=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ f\right\} ,\left\{ a,f\right\} ,\left\{ a,c,f\right\} ,\left\{ b,c,d,e,f\right\} \right\}

maka \tau_{3} bukanlah topologi pada X irisan \left\{ a,c,f\right\} \cap\left\{ b,c,d,e,f\right\} =\left\{ c,f\right\} dua himpunan di \tau_{3} tidak termuat di \tau_{3}. Itu artinya \tau_{3} tidak memenuhi kondisi (iii) pada definisi 1.

Diberikan \mathbb{N} himpunan bilangan asli dan \tau_{4} memuat \mathbb{N}, \emptyset dan himpunan bagian berhingga dari \mathbb{N} maka \tau_{4} bukanlah topologi pada \mathbb{N}. Karena gabungan tak hingga

\left\{ 2\right\} \cup\left\{ 3\right\} \cup\ldots\cup\left\{ n\right\} \cup\ldots=\left\{ 2,3,\ldots n\ldots\right\}

dari himpunan-himpunan di \tau_{4} tidak termuat di \tau_{4}.Itu artinya \tau_{4} tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1.

Diskrit dan Indiskrit

Definisi 2: Diberikan X himpunan tak-kosong dan \tau adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari X maka \tau disebut topologi diskrit, sedangkan ruang topologi \left(X,\tau\right) disebut ruang diskrit.

Dengan mudah kita cek bahwa definisi 2 memenuhi semua kondisi dari definisi 1, jadi definisi 2 juga merupakan topologi

Definisi 3: Diberikan X himpunan tak-kosong dan \tau=\left\{ X,\emptyset\right\} maka \tau disebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi \left(X,\tau\right) disebut ruang indiskrit.

Sekali lagi kita harus cek bahwa definsi 3 memenuhi semua kondisi dari definisi 1.

So..semua himpunan tak-kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit.

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

 

 

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Topologi and tagged , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Ruang Topologi

  1. eka fitriyani says:

    gimana caranya belajar topologi supaya mengerti??/saya punya tugas membahas bab “basis dan basis bagian” tapi gak ngerti sedikit pun.. 😦

  2. nuh_1 says:

    thanks atas makalahnya

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s