himpunan terbuka dan tertutup pada topologi

Postingan ini merupakan lanjutan dari postingan kemarin. Kemarin telah kita bahas bahwa ruang topologi adalah pasangan himpunan $\left(X,\tau\right)$ dengan $\tau$ berisikan himpunan-himpunan bagian dari $X$ . Nah isi dari $\tau$ ini lah yang disebut himpunan terbuka

Definisi 1: Untuk sebarang ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ . Anggota-anggota dari $\tau$ dikatakan himpunan terbuka.

Teorema 2: Untuk sebarang ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ maka

(i) $X$ dan $\emptyset$ adalah himpunan terbuka.

(ii) Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

(iii) Irisan berhingga dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

Nah..dari teorema 2 ini pastilah timbul pertanyaan: Gabungan tak-hingga himpunan terbuka adalah terbuka, tapi apakah irisan tak-hingga dari himpunan terbuka pastilah terbuka? Jawabannya “tidak”

Contoh 3: Diberikan himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ dan $\tau$ memuat $\emptyset$ , $\mathbb{N}$ dan $S$ himpunan bagian dari $\mathbb{N}$ dengab komplement $S$ didalam $\mathbb{N}$ adalah himpunan berhingga. Dengan mudah kita cek $\tau$ merupakan topologi. Untuk setiap bilangan asli $n$ didefinisikan himpunan $S_n$ sebagai berikut

$S_{n}=\left\{ 1\right\} \cup\left\{ n+1\right\} \cup\left\{ n+2\right\} \cup\left\{ n+3\right\} \cup\ldots=\left\{ 1\right\} \cup\underset{m=n+1}{\overset{\infty}{\cup}}\left\{ m\right\}$

Jelas setiap $S_n$ merupakan himpunan terbuka didalam topologi $\tau$ , karena komplementnya merupakan himpunan berhingga. Akan tetapi

$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}S_{n}=\left\{ 1\right\}$

Komplement dari $\left\{ 1\right\}$ bukanlah $\mathbb{N}$ ataupun himpunan berhingga, itu artinya $\left\{ 1\right\}$ bukanlah himpunan terbuka. Telah kita tunjukan irisan tak-hingga dari himpunan terbuka $S_n$ tidaklah terbuka.

Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup, himpunan tertutup adalah komplement dari himpunan terbuka.

Definisi 4: Untuk sebarang ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ , suatu himpunan bagian $S$ dari $X$ dikatakan himpunan tertutup jika komplomentnya merupakan himpunan terbuka pada $\left(X,\tau\right)$ .

Contoh 5: Diberikan ruang topologi $\left(X,\tau_1\right)$ , dengan $X=\left\{ a,b,c,d,e,f\right\}$ dan $\tau_1=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,c,d\right\} ,\left\{ b,c,d,e,f\right\} \right\}$

Apa saja himpunan tertutup dari $\left(X,\tau_1\right)$ ? Tentu saja komplement dari himpunan-himpunan didalam $\tau_1$

$X$ , $\emptyset$ , $\left\{ b,c,d,e,f\right\}$ , $\left\{ a,b,e,f\right\}$ , $\left\{ b,e,f\right\}$ , $\left\{ b,e,f\right\}$ dan $\left\{ a\right\}$

Teorema pada himpunan tertutup serupa dengan terorema pada himpunan terbuka (teorema 2)

Teorema 6: Untuk sebarang ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ maka

(i) $X$ dan $\emptyset$ adalah himpunan tertutup.

(ii) Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup.

(iii) Irisan berhingga dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup.

Penamaan “terbuka” dan “tertutup” menemukan sedikit permasalahan (kalau boleh dibilang begitu), bahwa ada himpunan terbuka sekaligus merupakan himpunan tertutup. Lebih jauh lagi ada himpunan yang tidak terbuka dan tidak tertutup. Nah sekarang perhatikan contoh 5, kita lihat bahwa

himpunan $\left\{ a\right\}$ dan $\left\{ b,c,d,e,f\right\}$ adalah himpunan terbuka dan tertutup
himpunan $\left\{ b,c\right\}$ tidak terbuka ataupun tertutup
himpunan $\left\{ c,d\right\}$ terbuka tetapi tidak tertutup
himpunan $\left\{ a,b,e,f\right\}$ tertutup tetapi tidak terbuka.

Pada ruang diskrit semua himpunan adalah terbuka dan tertutup tetapi pada ruang indiskrit $\left(X,\tau\right)$ semua himpunan bagian dari $X$ kecua $X$ dan $\emptyset$ tidaklah terbuka ataupun tertutup.

Nah..karena ada himpunan yang terbuka dan juga tertutup maka timbul definisi sebagai berikut

Definisi 7: Himpunan bagian $S$ dari ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ dikatakan clopen (closed and open) jika terbuka dan tertutup pada ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ .

Setiap ruang topologi $\left(X,\tau\right)$ , himpunan $X$ dan $\emptyset$ adalah clopen

Pada ruang disktrit $\emptyset$ , setiap himpunan bagian dari $X$ adalah clopen

Pada ruang indiskrit himpunan clopen hanyalah $X$ dan $\emptyset$

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

25 Responses to himpunan terbuka dan tertutup pada topologi

Meta Hadii Prabowo says:

October 14, 2020 at 02:19

Diberikan himpunan 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5}
Buatlah:

1. Satu contoh topologi pada 𝑋.
2. Satu contoh kelas himpuanan 𝑇 yang bukan topologi pada 𝑋, dan tunjukkan bahwa 𝑇
yang saudara buat bukan topologi.

Ana says:

March 11, 2018 at 12:06

Mohon bantuannya
X = {1,2,3,4}
1.Buatlah semua himpunan koleksi himpunan .
2. Buatlah semua topologi pada dari .
Apakah semua himpunan bagian dari dapat dibuat topologi?
3.Buatlah contoh-contoh himpunan tutup dari topologi yang saudara buat.
4. .Buktikanlah pernyataan berikut:
Jika topologi pada dan , maka merupakan himpunan tutup jika dan hanya jika .

Terima kasih

- Laili Islehatin says:
  
  May 21, 2023 at 13:52
  
  mohon solusinya
  
Ana says:

March 11, 2018 at 12:05

X = {1,2,3,4}
1.Buatlah semua himpunan koleksi himpunan .
2. Buatlah semua topologi pada dari .
Apakah semua himpunan bagian dari dapat dibuat topologi?
3.Buatlah contoh-contoh himpunan tutup dari topologi yang saudara buat.
4. .Buktikanlah pernyataan berikut:
Jika topologi pada dan , maka merupakan himpunan tutup jika dan hanya jika .

Imas says:

April 1, 2017 at 10:59

mas tolong minta bantuannya.. saya ada tugas kuliah tp bingung g ngerti
Diberikan himpunan X={1,2,3,4,5}
Buatlah:
Satu contoh topologi pada X.
Satu contoh kelas himpuanan T yang bukan topologi pada X, dan tunjukkan bahwa T yang saudara buat bukan topologi.

- Meta hadi prabowo says:
  
  October 14, 2020 at 02:22
  
  ini tugas kuliahnya sama persis dengan saya
  
Nozomi says:

November 9, 2014 at 06:21

Kalau ada himpunan yang seperti ini:
{0,1}
Itu himpunan terbuka atau tertutup??

- Aria Turns says:
  
  November 10, 2014 at 14:28
  
  Tinggal lihat saja komplementnya terbuka atau tertutup
  
misno says:

June 1, 2013 at 19:23

himpunan tertutup dan terbuka dalam topologi mohon bantuan nya dong mas

ruth says:

February 21, 2013 at 16:42

mas, punya jurnal matematika gak?
linknya kalo ada..

- Aria Turns says:
  
  February 22, 2013 at 11:30
  
  Maaf, tidaka ada
  
farid ghozi says:

February 7, 2013 at 09:11

dari literatur mana ini mas? mau minta ijin buat di muat di skripsi saya soalnya mas???

- Aria Turns says:
  
  February 7, 2013 at 14:33
  
  Dari buku topology without tears silahkan unduh di http://u.math.biu.ac.il/~megereli/topbook.pdf
  
reziana says:

September 30, 2012 at 22:31

boleh nanya gak?
aku punya tugas kuliah
buktikan jika himpunan A mempunyai n elemen, diaman n adalah bilangan bulat positif. maka buktIkan powerset dari A adalah 2^n. (petunjuk A subset B.dan A assosiet dengan setiap anggota A .

lina says:

December 28, 2011 at 20:14

trimakasi,..

bacaan menjelang UAS topologi

- NhuoerMha LuckthAn says:
  
  February 4, 2012 at 12:51
  
  mas tolong jelasin himpunan terbuka dan tertutup selengkap-lengkap nya dalam ruang topologi
  
  - Aria Turns says:
    
    February 4, 2012 at 19:33
    
    Kalo mau jelas n lengkap baca teks booknya aja
    
Herry PS says:

March 2, 2011 at 14:45

fungsi buka (open map) adalah fungsi yang memetakan himpunan buka menjadi himpunan buka. Contohnya setiap pemetaan ke ruang topologi diskrit bersifat buka. Bisa dibaca di http://en.wikipedia.org/wiki/Open_map

- Aria Turns says:
  
  March 2, 2011 at 17:42
  
  Oh…open map, haha… saya nyangkanya “open function” pantesan kagak ketemu, lupa ada istilah open map 🙂
  
kiki ciqiz says:

February 26, 2011 at 12:43

mas arya turn
tolong berikan penjelasan tentang fungsi buka dan fungsi tutup dong,,,
terima kasih

- Aria Turns says:
  
  March 2, 2011 at 08:11
  
  Saya baru dengaer istilah itu. Dari lteratur2 topologi yang saya miliki gak ada istilah fungsi buka (open function?)
  
rico says:

February 25, 2011 at 01:11

mas tolong jelasin tentang fungsi buka dan fungsi tutup dalam mata pelajaran topologi

misran says:

January 20, 2011 at 17:21

terima kasih banyak mas…..
nyari topologi 4 matematika sulit banget
yah paling cuma topologi jaringan yg muncul

aguz says:

November 10, 2010 at 10:09

mas, tolong jelasin donk mengenai himpunan tak terhubung

ank_mtk says:

October 15, 2010 at 09:55

jago banget tpologi matematinya…
thanks udah sangat membantu blog nya buat tugas fungsi variabel kompleks sy
=)

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…