Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan adalah himpunan bagian dari produk cartesian . Jika adalah suatu relasi dan maka dikatakan berelasi ke pada atau singkatnya

Contoh 2: boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi “=” (Sama dengan) yang memut semua elemen 

Contoh 3: Diberikan dan (kurang dari). Tuliskan semua elemen .

Diperoleh

Karena memuat semua elemen dengan

Nah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalen

Definisi 4: Suatu relasi pada himpunan dikatakan relasi ekuivalen jika memenuhi ketiga hal berikut

untuk semua

1. Reflexive

2. Symmetry jika maka

3. Transitive Jika dan maka

Contoh 5: Diberikan himpunan dan relasi pada didefinisikan . Akan ditunjukan merupakan relasi ekuivalensi

(note: artinya membagi )

1. Reflexive. Untuk sebarang diperoleh , Jelas , terbukti bersifat Reflexive

2. Symmetry. Diketahui maka , yang artinya . Diperoleh maka . Dapat disimpulkan

3. Transitive. Diketaui dan yang artinya

dan

Diperoleh

.

Itu artinya . Terbukti Transitive.

Terbukti merupakan relasi ekuivale

Nah yang namanya relasi ekuivalen pastilah terdapat kelas ekuivalensi, ibarat 2 sisi mata uang yang tak terpisahkan. Apa itu kelas ekuivalensi?

Definisi: Diberikan relasi ekuivalen pada maka untuk semua dterdapat suatu himpunan yang berisikan semua anngota yang berelasi ke , dinotasikan:

Nah..himpunan inilah yang disebut kelas ekuivalensi

Contoh 6: Sekarang kita akan mencari kelas ekuivalensi dari contoh 5, kita akan memulai dari 1dan maju kedepan

Perhatikan bahwa kelas ekuivalensi lainnya akan sama dengan salah-satu kelas ekuivalensi diatas contohnya . Itu artinya kita telah menemukan kelas-kelas ekuivalensi yang berbeda dari contoh 5.

Perhatikan juga bahwa himpunan  terpecah menjadi 4 himpunan yang saling asing. Dengan kata lain kelas-kelas ekuivalensi membentuk partisi pada

Teorema 7: Diberikan relasi ekuivalen pada himpunan tak-kosong maka kelas-kelas dari akan mempartisi

Nah..yang saya maksud dengan partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunan menjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong  yang mana setiap elemen tepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibut sel dari partisi. Serupa dengan partisi hardisk, tentunya mustahil suatu file termuat di dua partisi hardisk yang berbeda.

Jadi relasi ekuivalen adalah cara kita mempartisi suatu Himpunan.  Menjadi “ekuivalen” itu berarti menjadi sama, serupa berdasarkan kriteria tertentu.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**