Kongruen modulo

Boleh dibilang ini lanjutan dari postingan sebelumnya. Kali ini saya mau membahas salah satu relasi ekuivalensi yang paling sering dipakai, digunakan yaitu relasi kongkruen modulo.

Definsi 1: Diberikan 2 buah bilangan bulat a dan m, didefinisikan a\mod m yaitu sisa (remainder) dari a dibagi m

a=km+b

Contoh 2: 10\mod 3=1 karena 10=3\times 3+1, 10\mod 2=0 karena 10=5\times 2+0, Nah..kalau -18\mod 5 apakah hasilnya -3 (karena -18=-3\times 5-3) ataukah 2 (karena -18=-4\times 5+2)? keduanya benar akan tetapi pada umumnya orang memilih sisa yang  positif, jadi pada umumnya orang menulis -18\mod 5=2.

Telah kita bahas a\mod m=b berarti a=km+b. Nah dari sini kita akan definsikan realasi antara a dan b yang disebut relasi Kongruen modulo

Definsi 3: Diberikan bilangan bulat m ≠ 0, dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan Kongruen modulo (congruent modulo) m jika terdapat bilangan bulat k sedemikian hingga a=km+b, atau dengan kata lain a-n=km  dinotasikan

a\equiv b\pmod m

(Ingat kalian jangan bingung, jangan ketukar-tukar dengan penulisan a\mod m dan a\equiv b\pmod m, banyak orang yang suka kebolak-balik.

Parameter m disebut modulus bukan modulo, banyak orang salah kaprah menyebut m modulo.

Contoh 4: 13\equiv 1\pmod 3 karena 13=4\times 3+1 atau dengan kata lain 13-1= 4\times 3

Selanjutnya akan ditunjukan Kongruen modulo merupakan relasi ekuivalensi

Simetri

a\equiv a\pmod m, jelas kerena a=1\times 3+0

Refleksif

Diketahui a\equiv b\pmod m maka

a-b=km

kalikan dengan -1 diperoleh

b-a=-km

Itu artinya b\equiv a\pmod m

Transitive

Diketahui a\equiv b\pmod m \leftrightarrow a-b=km dan b\equiv c\pmod m \leftrightarrow b-c=lm, subtitusi b=c+lm diperoleh

a- c-lm=km

a-c=km+lm

a-c=\left(k+l\right)m

dapat disimpulkan  a\equiv c\pmod m

Ya..terbukti kongkruen modulo merupakan relasi ekuivalensi. Itu artinya himpunan bilangan bulat  akan terpartisi menjadi m kelas, yang tiap kelasnya mempunyai bentuk

\left[x\right]=\left\{ x+km|k\in\mathbb{Z}\right\}

Sebagai contoh untuk m=5, setiap baris dibawah ini merupakan kelas-kelas ekuivalensi

Kelas ekuivalensi pada relasi kongkruen modulo sering juga disebut kelas residu (residue class) atau kelas sisa, karena bilangan-bilang pada kelas yang sama mempunyai sisa yang sama jika dibagi m, contoh [0] berisikan semua bilangan yang sisanya 0, jika dibagi m,  [1] berisikan semua bilangan yang sisanya 0, jika dibagi m,  begitu seterusnya sampai [|m|-1], Himpunan berisikan kelas residu dinotasikan \mathbb{Z}_{m}=\left\{ 0,1,2,\ldots,|m|-1\right\} sebagai contoh \mathbb{Z}_{5}=\left\{ 0,1,2,3,4\right\} .

Nah..sekarang kita akan mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada \mathbb{Z}_{m} yang didefinisikan sebagai berikut

\left[a+b\right]=\left[a\right]+\left[b\right]

\left[ab\right]=\left[a\right]\left[b\right]

Inilah yang disebut aritmatika modular

Nah..sekarang perhatikan tabel penjumlahan dan perkalian \mathbb{Z}_{5}

Didalam \mathbb{Z}_{m}, penjumlahan \left[a+b\right] dan perkalian \left[ab\right] akan menghasilkan [0] jika \left[a+b=ab=m\right] hal ini berakibat \left[a+b=ab=m+k\right]=\left[k\right], dengan k\in\mathbb{Z}_{m}.

Bersasakan tabel kita tahu \left[2\right]+\left[4\right]=\left[1\right], apa artinya?

itu berarti jika suatu bilangan pada kelas [2] ditambah bilangan pada kelas [4] maka akan menghasilkan bilangan yang termuat dikelas [1], ambil contohnya 7\in\left[2\right] dan 19\in\left[4\right], kita peroleh

7+19=26

dengan mudah kita ketahui 26\in\left[1\right]

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Kongruen modulo

  1. Yasalyho says:

    keren bank.. . . ???? boleh juga nie jadi bahan referensi buat mata kulyah teory bilangan. .??? ak juga mau posting ke blogQ kita buat back link bank ok mohon bimbingannya kita masih smster 2 matematika mau belajar nie sekali lg lam kenal n mohon bimbingannya. . . .????!!!!

  2. Arlandio says:

    Shuu… Begitu ya.
    Boleh minta tolong nggak.
    Tolong buktikan
    (1/n)tan[(90n-180)/n] selalu bernilai naik dengan n>2

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s