Boleh dibilang ini lanjutan dari postingan sebelumnya. Kali ini saya mau membahas salah satu relasi ekuivalensi yang paling sering dipakai, digunakan yaitu relasi kongkruen modulo.

Definsi 1: Diberikan 2 buah bilangan bulat dan , didefinisikan yaitu sisa (remainder) dari dibagi

Contoh 2: karena , karena , Nah..kalau apakah hasilnya -3 (karena ) ataukah 2 (karena )? keduanya benar akan tetapi pada umumnya orang memilih sisa yang  positif, jadi pada umumnya orang menulis .

Telah kita bahas berarti . Nah dari sini kita akan definsikan realasi antara dan yang disebut relasi Kongruen modulo

Definsi 3: Diberikan bilangan bulat m ≠ 0, dua buah bilangan bulat dan dikatakan Kongruen modulo (congruent modulo) jika terdapat bilangan bulat sedemikian hingga , atau dengan kata lain   dinotasikan

(Ingat kalian jangan bingung, jangan ketukar-tukar dengan penulisan dan , banyak orang yang suka kebolak-balik.

Parameter disebut modulus bukan modulo, banyak orang salah kaprah menyebut modulo.

Contoh 4: karena atau dengan kata lain

Selanjutnya akan ditunjukan Kongruen modulo merupakan relasi ekuivalensi

Simetri

, jelas kerena

Refleksif

Diketahui maka

kalikan dengan -1 diperoleh

Itu artinya

Transitive

Diketahui dan , subtitusi diperoleh

dapat disimpulkan 

Ya..terbukti kongkruen modulo merupakan relasi ekuivalensi. Itu artinya himpunan bilangan bulat  akan terpartisi menjadi kelas, yang tiap kelasnya mempunyai bentuk

Sebagai contoh untuk , setiap baris dibawah ini merupakan kelas-kelas ekuivalensi

Kelas ekuivalensi pada relasi kongkruen modulo sering juga disebut kelas residu (residue class) atau kelas sisa, karena bilangan-bilang pada kelas yang sama mempunyai sisa yang sama jika dibagi , contoh [0] berisikan semua bilangan yang sisanya 0, jika dibagi ,  [1] berisikan semua bilangan yang sisanya 0, jika dibagi ,  begitu seterusnya sampai [|m|-1], Himpunan berisikan kelas residu dinotasikan sebagai contoh .

Nah..sekarang kita akan mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada yang didefinisikan sebagai berikut

Inilah yang disebut aritmatika modular

Nah..sekarang perhatikan tabel penjumlahan dan perkalian

Didalam , penjumlahan dan perkalian akan menghasilkan [0] jika hal ini berakibat , dengan .

Bersasakan tabel kita tahu , apa artinya?

itu berarti jika suatu bilangan pada kelas [2] ditambah bilangan pada kelas [4] maka akan menghasilkan bilangan yang termuat dikelas [1], ambil contohnya dan , kita peroleh

dengan mudah kita ketahui

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**