Kernel=Subgrup Normal

Lemma 1: Diberikan Homomorfisma grup $\phi:G\rightarrow K$ maka kernel dari $\phi$

$\ker\phi=\left\{ g\in G|\phi\left(g\right)=e\right\}$

adalah Subgrup Normal dari $G$

Bukti: Kita harus membuktikan untuk sebarang $x\in\ker\phi$ berlaku $\phi\left(gxg^{-1}\right)=e$

$\phi\left(gxg^{-1}\right)$

$\phi\left(g\right)\phi\left(x\right)\phi\left(g^{-1}\right)$

$\phi\left(g\right)e\phi\left(g^{-1}\right)$

$\phi\left(g\right)\phi\left(g^{-1}\right)$

$\phi\left(g\right)\phi\left(g\right)^{-1}$

$e$

Nah pertanyaannya sekarang bagaimana jika Lemma tersebut dibalik.

Apakah subgrup normal merupakan kernel?

Sempat berdiskusi dengan beberapa kawan, kawan saya menyatakan bahwa subgrup nomal belum tentu merupakan Kernel. Akan tetapi setelah saya ngobok-ngobok internet, saya menemukan jawabanyanya dari Planet Math, Subgrup Normal adalah Kernel

Lemma 2: Deberikan grup $G$ dan $N$ adalah subgrup normal-nya maka terdapat homomorfisma grup $\phi:G\rightarrow K$ sedemikin hingga $N=\ker\phi$

Bukti: Mudah saja, kita ambil $K$ adalah grup faktor $G/N$ dan kita definisikan $\phi:G\rightarrow G/N$ sebagai proyeksi natural dari $G$ ke $G/K$ (yaitu $\phi$ memetakan $g\in G$ ke koset $gN$ ) maka

$\ker\phi=\left\{ g\in G|\phi\left(g\right)=eN\right\} =\left\{ g\in G|gN=N\right\} =N$ .

Ketika kuliah saya hanya diajarkan Kernel adalah Subgrup Normal tetapi tidak pernah diajarkan kalau sebaliknya juga berlaku. Jadi saya baru tahu Kernel=Subgrup Normal.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com*

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

9 Responses to Kernel=Subgrup Normal

silvia says:

May 5, 2013 at 15:15

kernel dari f:z →zn dengan f(x) = x gmna caranya ya..

- Aria Turns says:
  
  May 5, 2013 at 20:31
  
  silahkan baca http://mathworld.wolfram.com/NaturalProjection.html
  
Sariyati says:

August 11, 2011 at 19:11

apakah Kernel dan Image adalah subgrup??

- Aria Turns says:
  
  August 12, 2011 at 05:29
  
  Postingan ini membahas kernel merupakan subgrup bahkan subgrup normal. Jika kamu memahami homomorfisma maka akan terlihat jelas Image juga merupakan subgrup
  
bahrum says:

April 8, 2011 at 14:19

sy masih bingung, dalam membuktikan N(H) = {g anggota G| gNg(invers)=N}, merupakan subgrup normal???

- Aria Turns says:
  
  April 13, 2011 at 18:41
  
  Lha..itukan emang definisi subgrup normal
  
winky says:

June 26, 2010 at 03:48

Ehhmm… aku kok belum paham ya…

misalnya kita punya bilangan real $R$ group atas operasi penjumlahan +

terus kita punya bilangan bulat $Z$ subgroup dari $R$ , dan $Z$ adalah subgroup normal.

Terus kalo didefinisikan homomorfisma $\phi: R \rightarrow R , \phi (x) = x$ , maka $ker(\phi) = \{0\}$ dan $ker(\phi)=\{0\} \neq Z$ , kontradiksi sama pernyataanmu “Kernel=Subgrup Normal”

mungkin yg dimaksud teorema di atas adalah, misalnya untuk contohku diatas kita bisa mengkonstruksikan homomorphisma $\phi$ sedemikan sehingga $ker(\phi) = Z$ , tapi g bisa langsung bilang kalo setiap subgroup normal pasti merupakan kernel atas sebarang homomorphisma.

- Aria Turns says:
  
  June 26, 2010 at 10:10
  
  Bukan begitu homomorfismanya tidak bisa sebarang, haruslah homomorfisma natural (atau disebut juga proyeksi natural)
  Diberikan sebarang grup $G$ dan $N$ subgrup normalnya maka akan terbentuk grup faktor $G/N$ kemudian kita berikan homorfisma natural $\phi$ dari $G$ ke $G/N$ , diperoleh $\ker \phi=N$ ,
  Kata kuncinya adalah homomorfisma natural, dengan homomorfisma natural sebarang subgrup normal bisa kita pandang sebgai kernel
  
  - winky says:
    
    June 26, 2010 at 16:02
    
    nah itu maksudku, soale kalo aku baca kesimpulannya jadi agak rancu, tiba2 kau bilang “Kernel=Subgrup Normal” seolah2 bertentangan dengan teorema di atasnya, karena di kalimat terakhir g disebutkan syarat2nya. Anyway, nice article