Teorema Isomorfisma Pertama

Okey kita lupakan sejenak apakah Teorema Fundamental Homomorfisma (The Fundamental homomorphism Theorem) sama dengan Teorema Isomorfisma Pertama (First Isomorphism Theorem). Kali ini saya mau membahas Teorema Isomorfisma Pertama, Lho kenapa bukan Teorema Fundamental Homomorfisma? Karena dari semua literatur aljabar yan saya baca tidak terdapat perbedaan, semuanya satu suara mengenai Teorema Isomorfisma Pertama

Diberikan Homomorfisma grup $\phi:G\rightarrow G'$ maka akan terbentuk

$K=\ker\phi$ kernel dari $\phi$
$\phi\left[G\right]$ image dari $\phi$ , dengan mudah dapat kita tunjukan $\phi\left[G\right]$ merupakan subgrup dari $G$
Karena kernel $K$ merupakan subgrup normal maka terbentuk grup faktor $G/K$

Teorema Isomorfisma Pertama mengatakan bahwa $\phi\left[G\right]$ dan $G/K$ isomorfis.

Teorema Isomorfisma Pertama: Diberikan Homomorfisma grup $\phi:G\rightarrow G'$ dengan kernel $K$ dan homomorfisma natural $G\rightarrow G/K$ maka terdapat isomorfisma $\mu:G/K\rightarrow\phi\left[G\right]$ .

Jika dibuatkan diagaramnya maka teorema tersebut akan tampak sebagai berikut

Bukti:

KIta definisikan $\mu:G/K\rightarrow\phi\left[G\right]$ , dengan $\mu\left(gK\right)=\phi\left(g\right)$ . Pertama-tama kita tunjukan $\mu$ well-defined. Caranya? Ambil $g_1$ dan $g_2$ dua buah elemen di $G$ yang termuat didalam koset yang sama, dengan kata lain $g_1K=g_2K$ , akan kita tunjukan $\mu\left(g_{1}K\right)=\mu\left(g_{2}K\right)$

$g_{1}K=g_{2}K$

$g_{1}^{-1}g_{2}\in K$

$\mu\left(g_{1}^{-1}g_{2}\right)=e_{G'}$

$\mu\left(g_{1}\right)^{-1}\mu\left(g_{2}\right)=e_{G'}$

$\mu\left(g_{2}\right)=\mu\left(g_{1}\right)$

Yang berakibat kesamaan dari

$\mu\left(g_{2}K\right)=\mu\left(g_{1}K\right)$

Selanjutnya kita verivikasi $\mu$ merupakan homomorfisma. ambil 2 buah koset $g_1K$ dan $g_2K$ maka

$\mu\left(g_{1}K\cdot g_{2}K\right)$

$\mu\left(g_{1}g_{2}K\right)$ (Operasi pada $G/K$ )

$\phi\left(g_{1}g_{2}\right)$ (definisi dari $\mu$ )

$\phi\left(g_{1}\right)\phi\left(g_{2}\right)$ ( $\phi$ homomorfisma)

$\mu\left(g_{1}K\right)\mu\left(g_{2}K\right)$ (definisi dari $\mu$ )

Yang terakhir kita buktikan $\mu$ isomorfisma (yaitu bijektive)

Injektif

Ambil $g_1K,g_2K\in G/K$ dengan $\mu\left(g_{1}K\right)=\mu\left(g_{2}K\right)$ . Itu artinya $\phi\left(g_{1}\right)=\phi\left(g_{2}\right)$ . Karena $\phi$ homomorfisma diperoleh $\phi\left(g_{1}^{-1}g_{2}\right)=e_{G'}$ berakibat $g_{1}^{-1}g_{2}\in K$ . Ambil $g_{1}^{-1}g_{2}=k\in K$ maka $g_{2}=g_1k\in g_1K$ . Diperoleh $g_{2}\in g_{1}K\cap g_{2}K$ yang berakibat $g_{1}K=g_{2}K$

Surjektif

Ambil sebarang $y\in \phi\left[G\right]$ maka terdapat $x\in G$ sedemikian hingga $\phi\left(x\right)=y$ . Karena $\gamma_{K}$ memetakan $x$ ke $xK$ diperoleh

$\mu\left(xK\right)=\phi\left(x\right)=y$

QED

Contoh

Diberikan homomorfisma $\theta:\,\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}_{n}$ dengan $\theta\left(m\right)$ adalah sisa dari pembagian $m$ dengan $n$ berdasarkan algoritma pembagian. Diperoleh $n\mathbb{Z}$ kernel dari $\theta$ maka berdasarkan terorema Isomorfisma Pertama diketahui $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ isomorfik ke $\theta\left(\mathbb{Z}\right)=\mathbb{Z}_{n}$

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

9 Responses to Teorema Isomorfisma Pertama

SUSANTI DO ALI says:

June 25, 2013 at 07:55

bisa bantu saya untuk teorema isomorfis ketiga beserta buktinya? atas bantuannya saya ucapkan terima kasih.

- Aria Turns says:
  
  June 26, 2013 at 19:47
  
  Okey ntar kalo ada waktu (dan mood) saya bahas 🙂
  
Murniati Suardi says:

May 5, 2013 at 18:19

dibaca ap in G/K? atauu ap mksudx it…

- Aria Turns says:
  
  May 5, 2013 at 20:27
  
  Silahkan klik http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group#Definition
  
hikber says:

December 3, 2012 at 11:38

bagaimana dengan jika f suatu homomorfisma dari grup G onto ke grup G’ dengan kernel I, maka G/I isomorfik dengan G’ buktinya masih sangat bingunhgg,,,,

arman says:

August 31, 2012 at 09:51

thanks ilmu nya,.. mas, ada refernsi gak untuk pembuktian isomorfisma grup Spesial ortogonal (3) dan spesial uniter (2).
sblmnya terima kasih, mas 🙂

- Aria Turns says:
  
  September 2, 2012 at 16:18
  
  Maaf, tidak ada..
  
wiangga0409 says:

July 9, 2010 at 16:09

oh jadi begitu ya, ya saya jadi mengerti sekarang bahwasanya saya benar benar tidak mengerti matematika. tapi aku senang membaca ini, jadi merasa ikut pintar, gpp kan? 🙂

- Aria Turns says:
  
  July 9, 2010 at 20:28
  
  Ini materi kul saya, wajar kalo mbak gak ngerti. Saya hanya menuliskan apa yang yang saya dapat waktu kuliah, apa itu artinya saya pintar? Gak kan Mbak..