Diberikan sebarang himpunan , didefinisikan himpunan kuasa (power set) dari (dinotasikan ) yaitu himpunan yang berisikan semua subhimpunan dari . Contoh: maka .  Itu artinya himpunan kuasa adalah himpunan yang berisikan himpunan-himpunan.

Jika berhingga dengan elemen maka memuat elemen. (Itu karena untuk membuat subhimpunan dari , kita harus melihat kesemua elemen lalu memililih setiap elemen apakah mau dimasukkan ke subhimpunan atau tidak. Ada cara untuk membuat pilihan sebanyak ). Hal tersebut juga berlaku untuk himpunan dengan nol elemen yaitu himpunan kosong , himpunan kuasa dari adalah  himpunan beranggotakan himpunan kosong.

Kita tahu bahwa akan selalu benar, itu berarti himpunan berhingga akan selalu lebih kecil dari himpunan kuasanya lalu bagaimana dengan himpunan tak-hingga? Menurut Teorema Cantor, hal tersebut juga berlaku untuk himpunan tak-hingga.

Terorema Cantor: Sebarang himpunan selalu mempunyai kardinalitas (banyaknya elemen) yang lebih kecil dari himpunan kuasanya

Bukti: Diberikan sebarang himpunan untuk membuktikan kardinalitas lebih kecil dari akan ditunjukan tidak ada fungsi surjektif dari ke . Dengan kata lain akan ditunjukan terdapat subhimpunan dari yang bukan merupakan image (daerah hasil) dari .

Subhimpunan dikontruksikan dari suatu elemen di yang image atas tidak memuat dirinya sendiri. So..untuk semua di berlaku

Itu artinya dan adalah dua himpunan yang berbeda, yang satu memuat dan yang satu tidak. Itu artinya terdapat  sedemikian hingga   untuk semua 

Teorema Cantor menyatakan bahwa jika kita mempunyai suatu himpunan apapun himpunan tersebut maka kita selalu bisa mengkontruksikan himpunan yang lebih besar dari himpunan tersebut yaitu himpunan kuasanya. Teorema Cantor berakibat yang namanya himpunan Semesta (Universal set) mustahil ada. Apa itu himpunan semesta? Yaitu himpuan terbesar yang memuat semua himpunan yang ada.

Akibat: Himpunan Semesta mustahil ada

Bukti: Andaikan himpunan semesta ada maka berdasarkan teorema cantor terdapat yang lebih besar dari , Jelas suatu hal yang kontradiksi.

Akibat dari teorema cantor ini dikenal dengan nama paradoks Cantor.

———————————————————————————————————————————————

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**