Teorema Cauchy

Teorema Langrange berkata jika G grup berhingga dengan n elemen dan H subgrup dari G dengan d elemen maka d membagi n. Bagaimana jika teorema tersebut dibalik? Jika jika G grup berhingga dengan n elemen dan bilangan d yang membagi n, apakah akan selalu ada subgrup dari G dengan d elemen?

Jawabannya “ya” jika d prima, inilah teorema Cauchy

Teorema Cauchy: Diberikan grup berhingga G dan p faktor prima dari |G| maka G memuat suatu elemen berorder p, akibatnya G memuat suatu subgrup berukuran p.

Untuk membuktikan teorema Cauchy, kita menggunakan lemma sebagai berikut

Lemma 1: Diberikan G grup berorder p^n dan X subhimpunan berhingga dari G maka \left|X\right|\equiv\left|X_{G}\right|\pmod p

(Note: X_{G} adalah orbit dari x\in X)

Nah..selanjutnya kita buktikan teorema cauchy

Bukti: Pertama-tama kita bentuh himpunan X yang berisikan p-tuples \left(g_{1,}g_{2},\ldots,g_{p}\right) elemen-elemen dari G yang mempunyai sifat hasil operasi biner semua kordinatnya adalah e

X=\left\{ \left(g_{1,}g_{2},\ldots,g_{p}\right)|g_{i}\in G,\, g_{1}g_{2}\ldots g_{p}=e\right\}

Akan dibuktikan p membagi \left|X\right|. Untuk membentuk p-tuple pada X kita bisa mengambil sebarang g_{1,}g_{2},\ldots,g_{p-1} elemen-elemen dari G dan g_p ditentukan sebagai berikut g_{p}=\left(g_{1}g_{2}\ldots g_{p-1}\right)^{-1}. Kita peroleh \left|X\right|=\left|G\right|^{p-1}. Karena p membagi \left|G\right| maka p membagi \left|X\right|

Diberikan \sigma merupakan siklik \left(1,2,\ldots,p\right) pada S_p dan \sigma beraksi (act) pada X sebagai berikut:

\sigma\left(g_{1},g_{2},\ldots g_{p}\right)=\left(g_{\sigma\left(1\right)},g_{\sigma\left(2\right)},\ldots,g_{\sigma\left(p\right)}\right)=\left(g_{2},\ldots g_{p},g_{1}\right)

Sekarang kita perhatikan subgrup \left\langle \sigma\right\rangle dari S_p yang juga beraksi pada X. Karena \left|\left\langle \sigma\right\rangle \right|=p berdasarkan lemma 1 diketahui \left|X\right|\equiv\left|X_{\left\langle \sigma\right\rangle}\right|\pmod p. Karena p membagi \left|X\right| maka p juga membagi \left|X_{\left\langle \alpha\right\rangle }\right|. Sekarang kita periksa X_{\left\langle \alpha\right\rangle }. Sesuatu \left(g_{1},g_{2},\ldots g_{p}\right)\in X_{\left\langle \alpha\right\rangle } dikatakan tetap kiri (left fixed) oleh \sigma (itu juga berati oleh \left\langle \sigma\right\rangle ) jika g_{1}=g_{2}=\ldots=g_{p}. Paling tidak ada satu elemen di X_{\left\langle \alpha\right\rangle } yang memenuhi yaitu \left(e,e,\ldots,e\right). Karena p membagi \left|X_{\left\langle \sigma\right\rangle}\right| maka paling tidak terdapat p elemen  di X_{\left\langle \alpha\right\rangle }. Oleh karena itu terdapat a\in G,\, a\neq e sedemikian hingga \left(a,a,\ldots,a\right)\in X_{\left\langle \sigma\right\rangle }. Itu berarti a^p=e dengan kata lain a mempunyai order p. Jelas \left\langle a\right\rangle merupakan subgrup dari G berorder p

Notasi:

e:  elemen identitas

S_p: Grup permutasi dari 4latex p$

\left\langle a\right\rangle : Grup yang dibangun oleh a

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Teorema Cauchy

  1. aep saep says:

    contoh so’alnya mana

  2. al-wafa says:

    haik.. haik..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s