Masalah Basel

Posted on August 30, 2010 by Nursatria

Deret tak hingga (Infinite series) adalah penjumlahan barisan bilangan yang tak-hingga banyaknya

a_{1}+a_{2}+\ldots=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}

Suatu deret tak hingga dikatakan konvergen jika  barisan jumlah parsialnya konvergen dengan kata lain mempunyai limit sedangkan kebalikan dari konvergen disebut divergen

Pada tahun 1644, Pietro Mengoli melemparkan soal kepada  para Matematikawan, soal tersebut adalah

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots}

Apakah deret tersebut konvergen? Jika ya berapa nilainya?

Inilah yang dikenal dengan Masalah Basel, di Saat itu para Matematikawan hanya bisa menjawab pertanyaan yang pertama. “Ya” deret teresebut konvergen, dari mana mereka tahu?

Di Jaman itu mereka telah mengetahui deret bernouli konvergen ke 2

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k\left(k+1\right)}=2}

Nah..sekarang perhatikan

2k^{2}\geq k\left(k+1\right)

\frac{1}{k^{2}}\leq\frac{2}{k\left(k+1\right)}

Diperoleh

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\leq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k\left(k+1\right)}=2

Nilainya kurang atau sama dengan 2 tapi berapa pastinya? Baru bisa dijawab oleh Euler, 100 tahun kemudian tepatnya tahun 1735. Euler mengatakan

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}}\approx1.644934

Bagaimana Euler mendapatkan nilai segitu?

Euler mengunakan suatu polynomial sebagai berikut

p\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+\ldots

Polynomial berderajat takhingga dengan p\left(0\right)=1. Diketahui deret taylor dari \sin\left(x\right) adalah

\sin\left(x\right)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\ldots+\left(-1\right)^{k+1}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}

Diperoleh

\frac{\sin\left(x\right)}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+\ldots=p\left(x\right)

Itu artinya akar dari p\left(x\right) adalah x=\pm k\pi dengan k=1,2,3,\ldots. Kita asumsikan p\left(x\right) merupakan hasil perkalian faktor linier dari akar-akarnya, diperoleh

p\left(x\right)=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\ldots

p\left(x\right)=\left(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2}}\right)\ldots

1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+\ldots=1-\left(\frac{1}{\pi^{2}}+\frac{1}{4\pi^{2}}+\frac{1}{9\pi^{2}}+\ldots\right)x^{2}+\ldots

Perhatikan koefisien x^2 dari baris terakhir

-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{\pi^{2}}+\frac{1}{4\pi^{2}}+\frac{1}{9\pi^{2}}+\ldots\right)

Kalikan kedua sisi dengan -\pi^{2} diperoleh

\frac{\pi^{2}}{6}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Masalah Basel

  1. sirhafiz says:
    June 13, 2011 at 22:35

    kang inpo baru…
    http://matematikaabstrak.blogspot.com/
    jadi ganti dengan judul
    cyber matematika
    link nya http://www.cybermatematika.tk/
    semoga bermanfaat bagi para cyber matematika
    amin… 🙂

    Reply
  2. sirhafiz says:
    May 13, 2011 at 16:54

    kang kunjung dong blog saya ayng tak seberapa ini… http://matematikaabstrak.blogspot.com/
    masih baru neh…

    Reply
  3. Herry PS says:
    August 31, 2010 at 15:16

    Saya mau konfirmasi tentang istilah/konsep krn saya bingung waktu membaca kalimat pertama di atas :
    series = deret
    sequence = barisan
    Deret adalah penjumlahan suku-suku dari sebuah barisan.
    Deret dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsialnya konvergen.

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s