Deret Harmonik

Posted on September 4, 2010 by Nursatria

Pada postingan sebelumnya saya membahas bahwa deret  \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} konvergen ke 2 atau dengan kata lain \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=2. Sekarang kita hilangkan kuadratnya sehingga deret tersebut menjadi

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots}

Deret diatas dikenal dengan nama Deret Harmonik

Apakah deret harmonik konvergen? Tidak, deret harmonik divergen

Bagaimana cara membuktikan kedivergenannya?

Ada banyak caranya tetapi saya akan memakai cara yang digunakan Honsberger (1976) Menurut saya cara yang dipakainya adalah cara yang paling sederhana dan mudah dipahami.

Diketahui \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}>\frac{2}{n+1} untuk n bilangan asli, andaikan deret harmonik konvergen ke S diperoleh

S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S>S

Jelas S>S suatu hal yang kontradiksi. Terbukti deret harmonik divergen.

QED

Untuk cara pembuktian lainnya silahkan unduh di sini

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Deret Harmonik

  1. dwimp3 says:
    May 16, 2019 at 20:40

    kalau deret harmonik divergen, kenapa ada rumus tertentu pada deret harmonik tertentu? misalnya:
    sampai n tertentu
    1/1.2.3 + 1/2.3.4 + … + 1/n(n+1)(n+2) = n(n+3)/4(n+1)(n+2)
    1/1.4 + 1/4.7 + … + 1/(3n-2)(3n+1) = n/(3n+1)
    sampai tak hingga:
    1/1 -1/3 + 1/5 – 1/7 + … = pi/4
    1/2.3.4 + 1/4.5.6 + 1/7.8.9 + … = (pi-3)/4
    1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … = e

    Reply
  2. NewXJ says:
    September 11, 2010 at 17:54

    Ia..
    Kalo Mas Aria Menggunakan kontradiksi dalam pembuktianna..
    😀

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s