Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem) adalah salah satu teorema penting didalam kalkulus. Teorema tersebut menyatakan

Teorema Nilai Rata-rata (TNR): Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada interval tertutup [a.b] dan terturun (differentiable) pada interval terbuka (a,b) maka terdapat paling tidak satu c pada (a,b) sedemikian hingga

f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}

Maksud dari antiseden TNR adalah jika fungsi f(x) digambarkan grafiknya dari a sampai b maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus. Sedangkan maksud konsekuennya adalah nilai f'\left(c\right) sama dengan gradien (kemiringan) garis yang melalui titik \left(a,f\left(a\right)\right) dan \left(b,f\left(b\right)\right). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. TNR bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobil yang berjalan sejauh 100km selama 1 jam. Ituu berarti mobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata 100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisa melaju kurang atau lebih dari 100km/jam. Berdasarkan TNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus tunggal) didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat 100km/jam.

Jika f(a)=f(b) maka TNR menjadi Teorema Rolle. Itu berarti TNR merupakan generalisasi dari teorema Rolle. Nah sekarang kita buktikan TNR

Bukti:

Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada  [a.b] dan terturun pada  (a,b). Didefinsikan fungsi h(x) sebagai berikut:

h\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-\left(\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\right)\left(x-a\right)

Jelas, h(x) kontinyu pada  [a.b] dan terturun pada  (a,b) dan dengan mudah dihitung h(a)=h(b). Itu berarti h(x) memenuhi kondisi dari teorema Rolle. Berdasarkan teorema Rolle terdapat c\in\left(a,b\right) sedemikian hingga h'(c)=0.

Jika h(x) diturunkan, diperoleh

h'\left(x\right)=f'\left(x\right)-\left(\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\right)

Karena h'(c)=0. maka

f'\left(c\right)=\left(\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\right)

QED

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus, pembuktian and tagged , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Teorema Nilai Rata-Rata

  1. CandrA7X says:

    Kalau Teorema Rolle sendiri pembuktiannya gimana mas?

  2. Herry PS says:

    Btw itu tertukar istilahnya, Mean Value Theorem = teorema nilai rata-rata, kalau Intermediate Value Theorem = teorema nilai tengah…

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s