Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem) adalah salah satu teorema penting didalam kalkulus. Teorema tersebut menyatakan

Teorema Nilai Rata-rata (TNR): Diberikan fungsi yang kontinyu pada interval tertutup dan terturun (differentiable) pada interval terbuka maka terdapat paling tidak satu pada sedemikian hingga

Maksud dari antiseden TNR adalah jika fungsi digambarkan grafiknya dari sampai maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus. Sedangkan maksud konsekuennya adalah nilai sama dengan gradien (kemiringan) garis yang melalui titik  dan . Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. TNR bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobil yang berjalan sejauh 100km selama 1 jam. Ituu berarti mobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata 100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisa melaju kurang atau lebih dari 100km/jam. Berdasarkan TNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus tunggal) didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat 100km/jam.

Jika maka TNR menjadi Teorema Rolle. Itu berarti TNR merupakan generalisasi dari teorema Rolle. Nah sekarang kita buktikan TNR

Bukti:

Diberikan fungsi yang kontinyu pada   dan terturun pada  . Didefinsikan fungsi sebagai berikut:

Jelas, kontinyu pada   dan terturun pada   dan dengan mudah dihitung . Itu berarti memenuhi kondisi dari teorema Rolle. Berdasarkan teorema Rolle terdapat  sedemikian hingga .

Jika diturunkan, diperoleh

Karena . maka

QED

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**