Teorema Wilson

Posted on October 4, 2010 by Nursatria

Teorema Wilson adalah salah satu teorema yang menggambarkan sifat dari bilangan prima. Menurut teorema wilson, p adalah bilangan prima jika p membagi \left(p-1\right)!+1. Begitu pula sebaliknya suatu bilngan p yang membagi \left(p-1\right)!+1 maka bilangan tersebut adalah prima. Secara formal teorema wilson ditulis sebagai berikut

Teorema wilson: Bilangan bulat 1<p adalah prima jika hanya jika  \left(p-1\right)!\equiv -1\pmod p

Bukti: Karena teorema ini berbentuk bi-implikasi, kita harus membuktikannya secara dua arah

\Rightarrow Diberikan bilangan prima p maka dapat dibentuk himpunan bilangan G=\left\{ 1,2,\ldots,p-1\right\} yang merupakan grup atas perkalian modulo p. Karena G grup maka setiap elemen a\in G mempunyai elemen invers a^{-1}\in G sedemikian hingga aa^{-1}\equiv 1\pmod p. Jika a^2\equiv 1\pmod p maka

a^2-1=(a+1)(a-1)\equiv 1\pmod p.

a\equiv 1\pmod p ataua\equiv -1\pmod p

Diperoleh nilai a=1 atau a=p-1. Dengan kata laian hanya 1 dan p-1 yang merupakan invers terhadap dirinya sendiri sedangkan elemen lainnya pada G mempunyai invers yang berbeda. Itu berati setiap elemen di G berbentuk pasangan \left\{ a_{i},a_{i}^{-1}\right\} dengan a_{i}\neq a_{i}^{-1} KECUALI untuk 1 dan p-1. Jika semua elemen G dikalikan, diperoleh

1\cdot a_{1}\cdot a_{2}\cdot\ldots\cdot a_{1}^{-1}\cdot a_{2}^{-1}\cdot\ldots\cdot\left(p-1\right)

1\cdot\left(a_{1}\cdot a_{1}^{-1}\right)\cdot\ldots\left(a_{i}\cdot a_{i}^{-1}\cdot\right)\left(p-1\right)

\left(p-1\right)

Dengan kata lain hasil dari \left(p-1\right)! pada G adalah \left(p-1\right) dengan \left(p-1\right)\equiv 1\pmod p. Dapat disimpulkan

\left(p-1\right)!\equiv\left(p-1\right)\equiv 1\pmod p

\Leftarrow Diketahui \left(p-1\right)!\equiv -1\pmod p andaikan p komposite tidak prima maka p mempunyai faktor prima  k dengan 1<k<\left(p-1\right). Itu berarti  k membagi \left(p-1\right)! dan juga membagi \left(p-1\right)!+1, Jelas itu suatu mustahil. Dengan kata lain \left(p-1\right)!\equiv -1\pmod p adalah hal yang mustahil jika p tidak prima.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian, Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Teorema Wilson

  1. Ariyas says:
    October 23, 2010 at 07:13

    Makasie.. Saya mw ujian seminar bawain materi tes prima miller rabin., saya blm paham bener materinya.. Hehe… Klo ada waktu dibahas ya… 🙂

    Reply
  2. nurul says:
    October 21, 2010 at 17:50

    bagus sekali buktinya.. sangat jelas. saya pernah tau bukti teorema wilson, tapi versi teori bilangan. namun yang ini saya rasa lebih jelas

    Reply
  3. Ariyas says:
    October 6, 2010 at 07:38

    Seneng bs dpt info… Thx ya.. 🙂
    Bedanya teorema wilson sama fermat? Ada ga tentang bilangan carmichael dan teorema miller-rabin?
    Makasie ya….. 🙂

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s