Irisan dari subgrup-subgrup adalah subgrup pula

Posted on October 10, 2010 by Nursatria

Ada 1 Soal yang boleh dikatakan menjadi soal wajib yang selalu ada pada buku-buku text Teori Grup

Buktikan irisan dari subgrup-subgrup pada suatu Grup adalah subgrup pula

Banyak mahasiswa Matematika yang bingung menjawab soal tersebut, padahal soal tersebut sering muncul ketika ujian. Nah sekarang mari kita lahap soal tersebut. Untuk menjawab soal tersebut pertama-tama kita harus menuliskannya dalam bentuk formal

Diberikan $H_i$ koleksi dari subgrup-subgrup pada grup $G$ yang diindeks oleh $i\in I$ . Buktikan $H=\cap_{i\in I}H_{i}$ subgrup dari $G$

Untuk membuktikan $H$ subgrup, kita harus membuktikan 3 hal berikut

Jika $g,h\in H$ , maka $gh\in H$
$e\in H$ , dengan $e$ adalah elemen identitas dari $G$
Jika $g\in H$ , maka $g^{-1}\in H$

Nah..mari kita buktikan satu-persatu

Ambil $g,h\in H$ maka $g,h\in H_i$ untuk semua $i\in I$ . Itu berarti $gh\in H_i$ untuksemua $i\in I$ , dengan kata lain $gh\in H$
Karena $H_i$ subgrup maka $e\in H_i$ untuk semua $i\in I$ . Terbukti $e\in H$
Ambil $g\in H$ maka $g\in H_i$ . Karena $H_i$ subgrup maka $g^{-1}\in H_i$ untuk semua $i\in I$ , dengan kata lain $g^{-1}\in H$

Terbukti $H$ subgrup.

Nah pertanyaan selanjutnya:

Bagaimana dengan gabungan dari subgrup, apakah merupakan subgrup juga?

Tidak, untuk membuktikannya cukup menggunakan counterexample

Diketahui $2\mathbb{Z}$ dan $3\mathbb{Z}$ merupakan subgrup dari $\mathbb{Z}$ . Ambil $2\in2\mathbb{Z}$ dan $3\in3\mathbb{Z}$ maka $2+3=5\notin2\mathbb{Z}\cup3\mathbb{Z}$ . Terbukti $2\mathbb{Z}\cup3\mathbb{Z}$ bukan merupakan subgrup dari $\mathbb{Z}$

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

This entry was posted in aljabar abstrak and tagged grup, matematika, Math. Bookmark the permalink.

26 Responses to Irisan dari subgrup-subgrup adalah subgrup pula

vivian says:

July 5, 2015 at 22:12

mas aria…
bukti yang mas buat itu adalah bukti penyangkal kan mas ?? ( setahu saya sih,, maap kalau saya salah maklum tingkat pemahaman dan kepintaran saya masih jauh di bawah rata2)

tapi yg ingin saya tanyakan adlh bisakah mas membuat pembuktian lainnya dengan cara lain selain yg mas buat ini ??

karena saya ingin lebih memahami tentang materi subgrup normal ini mas…

mohon bantuannya yah mas..
terima kasih utk bantuannya

Reply
vivian says:

July 5, 2015 at 21:09

Dear Aria
bukti yg kak sampaikan adalah bukti penyangkal kan ??
apakah ada contoh pembuktian dengan cara lain selain cara diatas…maaf..saya hanya ingin lebih memahami tentang materi ini…
terima kasih karna mau membantu
mohon segera di balas ^_^

Reply
- Aria Turns says:
  
  July 5, 2015 at 21:33
  
  bukti penyangkalan?? Saya baru denger. Untuk menyangkal suatu hal tidak perlu pake bukti tetapi pake contoh yang disebut Counter Example (Contoh penyangkalan). Jiak sutu teorema sudah ada buktinya dengan benar maka mustahil ada Counter Example-nya
  
  Reply
  - vivian says:
    
    July 5, 2015 at 22:25
    
    maaf mas … saya pikir tadi commentar saya tdk terkirim jadi saya krim 2x …
    
    ohh ia mas… saya baru mengerti ,,,
    maaf karena tidak terlalu pintar dalam materi ini mas..karena memang saya masih membutuhkan pembelajaran lebih lanjut mas ..jadi mohon bantuan dan kesabarannya yah mas…
    
    tapi yg saya maksudkan bisa tidak mas membuktikan irisan dari subgrup2 adlh subgrup juga dengan tdk menggunakan counter example …??
    
    Reply
    - Aria Turns says:
      
      July 5, 2015 at 22:30
      
      Maksudnya membuktikan gabungan subgrup belum tentu subgrup? Untuk menujukkan suatu salah gunakan counter example bukan bukti. Tahu bedanya contoh dengan bukti?
      
      Reply
      - vivian says:
        
        July 5, 2015 at 22:36
        
        ia..ia saya tahu
        tapi maksud saya tdk usah menggunaka counter ex …gabungan …
        cukup lgsung mengbuktikan irisannya saja…. tidak bisakah?
        
        Reply
        
        Aria Turns says:
        
        July 5, 2015 at 22:46
        
        Mmm.. Saya kurang tahu
        
        Reply
        
        vivian says:
        
        July 6, 2015 at 12:37
        
        mas aku izin copy yah…
        makasih
        
        Reply
Febby says:

November 24, 2014 at 21:12

Ass, minta tolong cara membuktikan ini
buktikan bahwa center Z(G) adalah subgrup normal dari G

Reply
- Aria Turns says:
  
  November 24, 2014 at 21:32
  
  bukankah sudah teramat jelas, terang benerang definsi center Z(G) memenuhi definsis subgrup normal
  
  Reply
Scorpnovsdandas Novanda says:

March 19, 2014 at 21:14

mas ..saya mau tanya tentang grup normal dmana soal nya : tunjukkan bahwa setiap subgrup dari suatu grup siklik adalah normal !
saya kurang paham ttg grup siklik dan grup normal .. 😦

Reply
lydia says:

March 24, 2012 at 19:30

mas apa sih perbdaan center dan centerlizer tolong buat contohnya mas?

Reply
Irvan Noortsani says:

September 24, 2011 at 08:38

mas saya mau minta penjelasan dan bukti dr soal:
order dari sebuah elemen grup sama dengan order dari invers elemen tersebut.
terima kasih….

Reply
- Aria Turns says:
  
  September 24, 2011 at 11:08
  
  Diberikan $a$ elemen dari sebuah grup berorder $m$ , dengan kata lain $a^m=e$ dengan $e$ elemen identitas
  Silahkana anda jabarkan sendiri
  $(aa^{-1})^m=e^m$
  maka anda akan medapatkan $a^{-1m}=e$
  
  Reply
Siska Ryane says:

August 22, 2011 at 12:34

Center dari grup G adalah Z(G) = { a Є G│ax = xa ∀ x Є G } dan centralizer dari a pada G adalah C(a) = { g Є G│ga = ag } buktikan Z(G) = ∩¦(a ∈G) C(a)

Reply
- wahyu jatmiko says:
  
  February 14, 2013 at 22:06
  
  saya nunggu jawabannya mbak……
  
  Reply
leonk says:

April 13, 2011 at 12:41

assalamu’alikum mas aria,,, saya mau minta tolong dalam pembuktiian subgrup dimana soalnya seperti ini:
Jika T merupakan subgrup dari H dari suatu operasi.Jika H merupakan subgrup dari G dgn suatu operasi. Buktikan bahwa T juga merupakan subgrup dari G. Tolong ya mass..trim’s

Reply
- Aria Turns says:
  
  April 13, 2011 at 18:39
  
  Itukan trivial
  
  Reply
leonk says:

April 13, 2011 at 12:22

assalamu’alikum mas aria,,, saya mau minta tolong dalam pembuktiian subgrup dimana soalnya seperti ini:
Jika merupakan subgrup dari H dari suatu operasi.Jika H merupakan subgrup dari G dgn suatu operasi. Buktikan bahwa T juga merupakan subgrup dari G. Tolong ya mass..trim’s

Reply
adit says:

March 7, 2011 at 11:12

Bukannya tidak boleh membuktikan dengan contoh ya??

Reply
- Aria Turns says:
  
  March 7, 2011 at 11:22
  
  Kalau membantah pernyataan boleh pake contoh yang disebut dengan counterexample tapi untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan memang tidak boleh pake contoh
  
  Reply
winda says:

November 15, 2010 at 13:42

tolong cantumin semua materi tentang subgrup dong… yang dijelasin m dosen masih kurang paham nih,,,
mahasiswa yang lain jg gtu….

Reply
homo-topi says:

October 26, 2010 at 19:45

Dear Ibnu.

Membaca himpunan memang kendala banyak matematikkawan di indonesia dari sabanag sampe merauke. Kendala itu terletak pada idnetifikasi anggota dari suatu himpunan. Jadi simpelnya begini:

Misalkan diberikan sebuah himpunan yg di notasikan dengan

A = { X : P(X) }

Cara membaca himpunan tersebut adalah dengan mengidentifikasi dari elemen pada A, yaitu A memiliki elemen x yang memenuhi sifat P(x). Sifat P(x) itu dinamakan SYARAT KEANGGOTAAN dari elemen x dalam A.

Begitu mas Ibnu. Maaf ya kalo ada kata-kata yang salah. Heeee Peace.

Reply
ibnu masud albantani says:

October 20, 2010 at 20:52

Assalammualaikum!pakabar mas aria?kebetulan nih, bu dosen matkul aljabbstrak bru aja ngebahas tentang subgrup.

defenisi yg ane dapat tentang grup:

Suatu subhimpunan $H$ dari grup $G$ dikatakan subgrup dari $G$ jika $H$ terhadap operasi di $G$ membentuk suatu grup. Dalam hal ini ditulis $H \le G$ , dan jika $H \ne G$ ditulis $H < G$ .

apakah dengan begitu $A \le B$ sudah pasti $A \subseteq B$ ?

Reply
- Aria Turns says:
  
  October 20, 2010 at 21:23
  
  Wass. lho anda berkata
  
  Suatu subhimpunan $H$ dari grup $G$ dikatakan subgrup dari $G$ jika $H$ terhadap operasi di $G$ membentuk suatu grup. Dalam hal ini ditulis $H \le G$ , dan jika $H \ne G$ ditulis $H < G$ .
  
  bukankah itu sudah menjawab pertanyaanmu sendiri
  
  Reply
  - ibnu masud albantani says:
    
    October 22, 2010 at 21:36
    
    ehmm… iya juga yah…
    maap mas (keatahuan belum paham deh)
    😀
    hehehehe… kemarin baru baca sekilas tadi baru dipelajari lebih detail, maap yah.
    ohiya mas, kebanyakan temen2 dikelas termasuk aku sulit membaca himpunan. (dosen:”kalian lemah dialjabar karena kalian lemah dalam membaca himpunan”). bisa sharing mas? (lebih ke cara pikir untuk mamahami himpunan itu sendiri).
    trimaksih, jazakallah ahsanaljaza…
    
    Reply