© wikipedia

Boleh dibilang Paradoks Banah-Tarski adalah hal yang paling ajaib, yang paling aneh di Matematika, membuat siapa saja yang pertama kali mengetahuinya pastilah terbengong-bengong, terheran-heran dan terkencing-kencing, Okey saya berlebihan, I know.  Paradoks Banah-Tarski berkata kita bisa memecahkan sebuah bola padat menjadi kepingan-kepingan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut hanya dengan mengunakan rotasi dan translasi menjadi 2 buah bola yang identik dengan bola sebelumnya. Paradoks banach-Tarski bisa kita anologikan sebagai berikut: kita bisa memotong satu buah apel menjadi beberapa potongan lalu kita bisa menyusun ulang potongan-potongan tersebut menjadi 2 buah apel yang sama persis dengan sebelumnya.

“Mustahil” pasti kamu akan berkata demikian. Ya..mungkin hal tersebut mustahil di dunia nyata tetapi tidak di dunia Matematika.

Pertama-tama saya mau menegaskan bola padat yang saya bicarakan adalah bola padat menurut pemahaman matematika. Menurut matematika bola padat adalah sebuah himpunan titik-titik yang didefinsikan sebagai berikut:

dengan adalah jari-jari bola. Nah..sekarang ada berapa banyak titik-titik di ? Tak-hingga banyaknya. Nah..inilah yang membedakan bola di dunia matematika dengan bola di dunia nyata. Di dunia nyata bola mempunyai titik-titik (baca: atom-atom) yang berhingga. Ini juga lah yang  menjadi alasan utama mengapa paradoks Banach-Tarski hanya bisa terjadi di dunia Matematika tidak di dunia nyata.

Paradoks Banach-Tarski

Secara formal paradoks Banach-Tarski menyatakan

Paradoks Banach-Tarski (PBT): Untuk sebarang bola padat  dapat dipecahkan menjadi kepingan-kepingan  berhingga,   dan isometries pada  sedemikian-hingga:

Beberapa literatur yang saya baca mengatakan bola padat cukup dipecah menjadi 4 kepingan untuk terjadinya PBT. Nah.. sekarang pertanyaannya

Kepingan yang seperti apa sehingga terjadi PBT?

Bukan sembarang kepingan, untuk terciptanya PBT, bola padat harus dipecah menjadi kepingan-kepingan yang non-measurable, secara sederhana itu artinya kepingan-kepingan tersebut mempunyai bentuk atau struktur yang teramat rumit sehingga  ukuran, atau volume menjadi tidak jelas, bahasa matematisnya Not well defined. Nah..pertanyaan selanjutnya

Bagaimana mengkontruksikan kepingan-kepingan yang  non-measurable?

Err..kita tidak tahu. PBT melibatkan aksioma pilihan (Axiom of Choice) Buat yang belum tahu apa itu aksioma pilihan silahkan klik di sini. Jika kita punya bola padat dan  adalah himpunan semua kepingan yang mungkin  maka  aksioma pilihan akan memililih kepingan-kepingan yang non-measurable tanpa pernah kita ketahui cara memilihnya

Strong Version.

Sebenarnya ada 2 versi dari PBT yang pertama versi lemah (weak Version) yang saya jelaskan  diatas dan versi kuat (Strong Version). PBT versi kuat merupakan akibat dari PBT versi lemah

PBT versi kuat: Untuk sebarang 2 buah bola padat dan dengan   maka dapat dipecah menjadi kepingan-kepingan berhingga  dan  sedemikian hingga untuk setiap i dari 1 sampai n, kongkruen ke

PBT versi kuat bisa dianalogikan sebagai berikut: kita bisa memecah bola padat seukuran kelereng menjadi kepingan-kepengan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran matahari. Mmm… lebih aneh bin ajaib dari PBT versi lemah ya kan?